Загальна теорія відносності та космологія

Принцип еквівалентності та викривлений простір-час

Гравітація Ньютона — це сила: яблуко, що падає, прискорюється через невидиме притягання. Прозріння Ейнштейна полягало в тому, що людина в закритому ліфті не може відрізнити вільне падіння від глибокого космосу без гравітації, так само як не може відрізнити нерухомий ліфт на Землі від ліфта, що прискорюється вгору з g = 9,8 м/с² у порожньому просторі. Це слабкий принцип еквівалентності: гравітаційна та інерційна маса ідентичні.

Сильний принцип еквівалентності розширює це на всю фізику: локально, в будь-якій вільно падаючій системі відліку, закони фізики — це закони спеціальної теорії відносності. Гравітація — це не сила, а прояв викривленого простору-часу. Вільно падаюче тіло слідує найпрямішим можливим шляхом — геодезичною — крізь викривлений чотиривимірний простір-час. Те, що ми сприймаємо як гравітаційне притягання, — насправді геометрія простору-часу, що вказує матерії, куди рухатись, а матерія вказує простору-часу, як викривлятись.

Метричний тензор g_μν — фундаментальний об'єкт у ЗТВ. Він визначає відстань між сусідніми подіями. У плоскому просторі g_μν = diag(−1, 1, 1, 1) (метрика Мінковського η_μν). У викривленому просторі-часі g_μν змінюється від точки до точки і повністю кодує гравітаційні ефекти.

Польові рівняння Ейнштейна

Динамічні рівняння ЗТВ пов'язують кривину простору-часу з його енергетичним вмістом:

Ці десять зв'язаних нелінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних відомі своєю складністю для точного розв'язання. Ліва частина кодує кривину простору-часу; права — розподіл матерії, енергії та імпульсу. «Простір-час каже матерії, як рухатись; матерія каже простору-часу, як викривлятись» (Вілер).

Рівняння геодезичної описує шлях вільно падаючої частинки:

Геометрія Шварцшильда та чорні діри

У 1916 році Карл Шварцшильд знайшов перший точний розв'язок рівнянь поля Ейнштейна: геометрію зовні сферично симетричної, необертової, незарядженої маси. Метрика Шварцшильда:

При r = r_s компонента метрики g_tt = 0, а g_rr розходиться (координатна, а не фізична сингулярність). Це горизонт подій чорної діри Шварцшильда: поверхня, за якою швидкість втечі перевищує c. Опинившись усередині, всі геодезичні ведуть до центральної сингулярності при r = 0, де кривина фізично нескінченна.

Фотонна сфера та найвнутрішня стабільна кругова орбіта

Масивні частинки можуть обертатися на кругових геодезичних лише при r > 3r_s/2, з останньою стабільною круговою орбітою при r = 3r_s (ISCO). Фотони можуть обертатися (нестабільно) при r = 3r_s/2, фотонна сфера. Акреційний диск чорної діри простягається від ISCO всередину, і випромінювання, що виникає там, несе характерний спектр, видимий у VLBI-зображеннях (зображення M87* Телескопом горизонту подій, 2019; зображення Sgr A*, 2022).

Чорні діри Керра

Реалістичні чорні діри описуються метрикою Керра (Рой Керр, 1963), яка додає обертання, параметризоване спіновим параметром a = J/Mc (кутовий момент на одиницю маси). Площа горизонту подій зменшується від r_s до r₊ = r_s/2 + √(r_s²/4 − a²). Захоплення системи відліку (ефект Лензе-Тірінга) захоплює простір-час навколо обертового тіла; всередині ергосфери (r > r₊, але зовні статичної межі) неможливо залишатися нерухомим. Процес Пенроуза може видобувати обертальну енергію з ергосфери, до 29% від Mc² для максимально обертової діри.

Гравітаційне лінзування

Світло слідує нульовим геодезичним (ds² = 0) у викривленому просторі-часі. Масивний об'єкт між джерелом та спостерігачем відхиляє світлові промені, діючи як гравітаційна лінза. Ейнштейн передбачив кут відхилення:

Коли джерело, лінза та спостерігач ідеально вирівняні, зображення утворює повне кільце — кільце Ейнштейна — з кутовим радіусом: θ_E = √(4GM d_LS / (c² d_L d_S)). Незначні неспіввісності створюють пари дугоподібних зображень. Перетин лінзування масштабується як θ_E², тому більш масивні та ближчі лінзи створюють більші ефекти.

Сильне лінзування (скупчення галактик, масивні еліптичні галактики) створює множинні зображення, дуги та кільця Ейнштейна, видимі на зображеннях HST. Слабке лінзування створює тонкі когерентні спотворення форми у вибірках фонових галактик, використовувані для картографування темної матерії. Мікролінзування відстежує яскравість окремих зір на предмет тимчасових подій підсилення, коли компактний об'єкт переднього плану транзитує; цей метод виявив екзопланети та досліджує зоряні чорні діри в гало Молочного Шляху.

Гравітаційне червоне зміщення та гравітаційне уповільнення часу

Фотони, що піднімаються з гравітаційної ями, втрачають на це енергію, їхня частота зменшується: гравітаційне червоне зміщення. З метрики Шварцшильда відношення випроміненої до отриманої частоти:

Та сама формула описує гравітаційне уповільнення часу: годинники глибше в гравітаційному полі йдуть повільніше. Годинник на поверхні Землі йде на ~6,97 × 10⁻¹⁰ повільніше на секунду, ніж годинник нескінченно далеко. Супутники GPS обертаються на висоті 20 200 км; їхні годинники йдуть швидше на +45,9 μс/добу (гравітаційно) і повільніше на −7,2 μс/добу (спеціально-релятивістське уповільнення часу від орбітальної швидкості v = 3,87 км/с), даючи чисту +38,7 μс/добу, яку потрібно коригувати — інакше позиції GPS дрейфували б на ≈ 11 км/добу.

Поблизу чорної діри зоряної маси уповільнення часу стає екстремальним. При r = 1,01 r_s годинник йде в 10 разів повільніше, ніж на нескінченності. При r = r_s віддалений спостерігач бачить, як годинники, що падають, завмирають і зазнають червоного зміщення до нульової частоти; спостерігач, що падає, перетинає горизонт за скінченний власний час без жодної локальної драми, завдяки різниці між координатною та фізичною сингулярністю.

Космологія FLRW та розширення Всесвіту

У найбільших масштабах Всесвіт однорідний та ізотропний (космологічний принцип). Найзагальніша метрика, сумісна з цією симетрією, — це метрика Фрідмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW):

Підставляючи в рівняння Ейнштейна з ідеальною рідиною T_μν, отримуємо рівняння Фрідмана:

Закон Хаббла v = H₀ d виникає в границі лінійного розширення. Для ΛCDM (Λ + холодна темна матерія) масштабний фактор підпорядковується:

• Домінування випромінювання (z > 3400): a ∝ t^1/2
• Домінування матерії (3400 > z > 0,3): a ∝ t^2/3
• Домінування Λ (z < 0,3, сьогодні): a ∝ e^H₀t (експоненційне розширення)

Критична густина ρ_c = 3H²/(8πG) визначає Ω = ρ/ρ_c. Результати Planck 2018: Ω_m ≈ 0,315 (матерія, з якої ~84% — темна матерія), Ω_r ≈ 9,1 × 10⁻⁵ (випромінювання), Ω_Λ ≈ 0,685 (темна енергія), Ω_total ≈ 1,000 (плоский Всесвіт).

Реліктове випромінювання

Приблизно через 380 000 років після Великого вибуху Всесвіт охолов до ~3000 К: протони й електрони об'єдналися в нейтральний водень (рекомбінація), і Всесвіт став прозорим. Фотони, вивільнені в цей момент, спостерігаються сьогодні як реліктове випромінювання, зазнавши червоного зміщення до T₀ = 2,725 К через 1089-кратне розширення.

Температура реліктового випромінювання ізотропна з точністю до однієї частини на 10⁵, але крихітні анізотропії δT/T ~ 10⁻⁵ кодують багату фізику. До рекомбінації фотон-баріонна плазма зазнавала акустичних коливань: гравітація стискала баріони, тиск випромінювання чинив опір. Ці коливання залишили акустичні піки у спектрі потужності реліктового випромінювання C_ℓ на мультиполях ℓ ~ 200, 540, 800, … Положення та висоти піків надзвичайно точно обмежують космологічні параметри.

Реліктове випромінювання також несе поляризацію: E-мода від скалярних збурень (виміряна Planck, WMAP, ACT) та B-мода від первинних гравітаційних хвиль, передбачених інфляцією. Виявлення B-моди обмежить інфляційний енергетичний масштаб і підтвердить або спростує гіпотезу інфляції.

Темна енергія та прискорений Всесвіт

У 1998 році два огляди наднових (Ріс та ін., Перлмуттер та ін.) незалежно виявили, що наднові типу Ia на високому червоному зміщенні тьмяніші, ніж очікувалося у Всесвіті, що домінується матерією — розширення прискорюється. Це принесло Нобелівську премію 2011 року. Найпростіше пояснення — космологічна стала Ейнштейна Λ, що діє як стала густина енергії ρ_Λ = Λc²/(8πG) з параметром рівняння стану w = p/ρ = −1.

Спостережні обмеження поєднують реліктове випромінювання, баріонні акустичні осциляції (BAO) та наднові. Поточні підгонки дають w = −1,028 ± 0,032 (Planck + DES 2024), що узгоджується з Λ, але залишає місце для квінтесенції (скалярне поле зі змінним у часі w). Фундаментальна напруга: квантова теорія поля передбачає густину вакуумної енергії, що в ~10¹²⁰ разів більша за спостережувану — проблема космологічної сталої, одна з найбільших нерозв'язаних проблем у фізиці.

Дослідіть симуляції