Спотлайт #36 – Фізика плазми та термоядерний синтез: утримання в токамаку, критерій Лоусона, стійкість МГД та ІТС

Дев'яносто дев'ять відсотків усієї видимої матерії у всесвіті перебуває у стані плазми. Сонце синтезує 620 мільйонів тонн водню щосекунди, утримуючи свою центральну плазму гравітацією при 15 мільйонах кельвінів. На Землі як магнітне утримання термоядерного синтезу (МУТС) у токамаках, так і інерціальний термоядерний синтез (ІТС) прагнуть відтворити цей процес без допомоги гравітації — одне з найскладніших інженерних завдань, за яке коли-небудь бралося людство. Щоб зрозуміти чому, потрібна подорож фізикою плазми з перших принципів.

1. Плазма: четвертий стан речовини

Плазма — це квазінейтральний газ заряджених частинок (електронів та іонів), що демонструє колективну поведінку. Три критерії відрізняють плазму від просто іонізованого газу:

Дебаївська довжина (відстань екранування):
  λ_D = √(ε_0 k_B T_e / (n_e e²))
  Для T_e = 10 кеВ, n_e = 10²&sup0; м−³: λ_D ≈ 74 мкм

Критерії плазми:
  1. λ_D ≪ L  (розмір системи набагато більший за довжину екранування)
  2. N_D = n_e · (4π/3) λ_D³ ≫ 1  (багато електронів у дебаївській сфері)
  3. ω_pe · τ ≫ 1  (період плазмових коливань коротший за час між зіткненнями)

Плазмова (електронна) частота:
  ω_pe = √(n_e e² / (ε_0 m_e))
  Для n_e = 10²&sup0; м−³: ω_pe ≈ 5,6 × 10¹¹ рад/с  (мікрохвильовий діапазон)

Циклотронні частоти:
  Ω_ce = eB / m_e   (електронна)
  Ω_ci = eB / m_i   (іонна)   Ω_ci ≈ Ω_ce / 1836  (протон)
          

Дебаївська довжина — це довжина екранування, на якій електричні поля приховуються завдяки перерозподілу вільних зарядів. За межами λ_D плазма виглядає електрично нейтральною. Саме це колективне екранування якісно відрізняє плазму від слабко іонізованого газу і породжує багатий спектр хвильових явищ, які розглядаються у розділі 5.

2. Магнітне утримання в токамаку

Токамак (від рос. «тороїдальна камера з магнітними котушками») утримує плазму в торі, поєднуючи сильне тороїдальне магнітне поле B_φ від зовнішніх котушок зі слабшим полоїдальним полем B_θ, що генерується великим струмом плазми. Отримані гвинтові силові лінії обвиваються навколо тора, не перетинаючи стінку.

Геометрія токамака:
  R = великий радіус (від осі до центру тора)
  a = малий радіус (радіус поперечного перерізу)
  Відношення сторін: A = R/a   (ITER: R = 6,2 м, a = 2,0 м, A = 3,1)

Коефіцієнт запасу стійкості q (закручування силових ліній):
  q = r B_φ / (R B_θ) ≈ rB_T / (RB_P)
  Умова стійкості Крускала-Шафранова: q ≥ 1 всюди
  q_95 ≈ 3 у проєктній точці ITER

Тороїдальний струм: I_P ≈ 15 МА  (номінал ITER)

Неокласичний перенос (від «банан»-орбіт):
  D_⊥_neo ~ (q/ε)^(3/2) ρ_i² v_thi / λ_mfp²
  Бомівська аномальна дифузія: D_Bohm = k_BT / (16eB)
  Домінує аномальний перенос; фактичний час утримання τ_E ≈ 1–3 с (проєкт ITER)

Перехід L-H (H-режим):
  При вхідній потужності P_th ~ B_T n_e^0,7 R^2: формується периферійний транспортний бар'єр
  Педестал: круті градієнти густини/температури
  ELM (локалізована крайова мода): періодичні обвали педесталу, теплові навантаження
          

Дрейфи частинок у викривленому неоднорідному полі токамака — grad-B-дрейф, дрейф кривизни та E×B-дрейф — призвели б до того, що плазма дрейфувала б назовні й ударялась об стінку за мікросекунди, якби поле було суто тороїдальним. Закручування, створене полоїдальним полем, усереднює ці дрейфи на кожному обороті, підтримуючи утримання. Частинки, що рухаються вздовж гвинтових силових ліній, описують «бананоподібні орбіти» у полоїдальному перерізі; їхня зіткненнєва дифузія дає оцінку неокласичного переносу.

3. Критерій Лоусона

Синтез дейтерію й тритію (D-T) вивільняє 17,6 МеВ на реакцію, переважно у вигляді нейтрона з енергією 14,1 МеВ та альфа-частинки з енергією 3,5 МеВ. Альфа-частинка залишається утриманою і нагріває плазму; нейтрон вилітає, і його енергія вилучається як тепло. Щоб термоядерний реактор виробляв більше енергії, ніж споживає (запалювання), нагрів плазми альфа-частинками повинен перевищувати всі канали втрат енергії.

Реакція синтезу D-T:
  D + T → &sup4;He (3,5 МеВ) + n (14,1 МеВ)
  Пік реактивності при T ≈ 70 кеВ; ⟨σv⟩_max ≈ 3,7 × 10−²² м³/с  (при ~65 кеВ)

Баланс потужності (умова запалювання):
  P_α = n_D n_T ⟨σv⟩ E_α / 4   (нагрів альфа-частинками)
  P_loss = 3 n k_B T / τ_E   (гальмівне випромінювання + теплопровідність)

Критерій Лоусона (точка запалювання для D-T):
  n τ_E ≥ 1,5 × 10²&sup0; м−³ с   (при T ≈ 25 кеВ)

Потрійний добуток синтезу (Лоусон + температура):
  n T τ_E ≥ 3 × 10²¹ м−³ кеВ с

Проєктні цілі ITER:
  n ≈ 10²&sup0; м−³,  T ≈ 15 кеВ,  τ_E ≈ 3,7 с
  Q = P_синтезу / P_вхідна = 10  (10-кратне помноження енергії)

Поточний рекорд (JET, 2022): Q ≈ 0,33
Запалювання NIF (2022): Q_ціль = 1,54  (→ енергія синтезу > енергії лазера, доставленої до капсули)
          

4. Стійкість МГД

Магнітогідродинаміка (МГД) розглядає плазму як провідну рідину. Ідеальні рівняння МГД поєднують рівняння Максвелла з рівнянням імпульсу рідини, за умови «вмороженості» потоку. МГД-нестійкості можуть викидати гарячу плазму з області утримання за мікросекунди, якщо їх не контролювати.

Рівняння імпульсу ідеальної МГД:
  ρ dv/dt = J × B − ∇p   (сила Лоренца + градієнт тиску)

Вмороженість потоку (Альвен, 1942):
  ∂B/∂t = ∇ × (v × B)
  Силові лінії рухаються разом із плазмою; опір руйнує цю умову (розривні моди)

Кінкова нестійкість (m=1):
  Критерій (Крускала-Шафранова): q < 1 нестійко
  Довгохвильова, зумовлена струмом; вигинає весь стовп плазми

«Ковбасна» нестійкість (m=0):
  Звуження стовпа плазми;  стійка, якщо B_φ² > B_θ²/2

Розривна мода (резистивна МГД):
  Перез'єднує силові лінії на раціональних поверхнях q = m/n
  Швидкість зростання: γ ~ (k_⊥ v_A)^(3/5) (η/μ_0)^(2/5) r_s^(−2/5)
  Острови від'єднаного потоку; можуть «замикатися» на стінку → зрив

ELM (локалізовані крайові моди):
  Пілінг-балонна нестійкість у педесталі H-режиму
  ELM I типу: ΔW_ELM ≈ 1–20 МДж викидається на дивертор
  Пом'якшення в ITER: інжекція гранул, резонансні магнітні збурення
          

5. Плазмові хвилі

Оскільки плазма одночасно є електромагнітним і гідродинамічним середовищем, вона підтримує багатий набір хвильових мод, яких не існує в звичайних газах. Багато з них використовуються для нагріву: іон-циклотронний резонансний нагрів (ICRH), електрон-циклотронний резонансний нагрів (ECRH) та нижньогібридний привід струму застосовуються в токамаках.

Альвенівська хвиля (МГД-хвиля, що поширюється вздовж B):
  v_A = B / √(μ_0 ρ)
  Для B = 5 Тл, n = 10²&sup0; м−³ (D): v_A ≈ 1,1 × 10&sup7; м/с ≈ 4% c

Зсувна альвенівська: ω = k_∥ v_A  (поперечне коливання силових ліній)
Стискувальна альвенівська: ω² = k² v_A²  (швидка магнітозвукова, ізотропна)

Свистяча хвиля (право-циркулярно поляризована, f < f_ce):
  Поширюється вздовж B; групова швидкість v_g ∝ √f
  Високі частоти прибувають раніше → дисперсний «свист» в іоносфері

Верхньо-/нижньогібридні резонанси:
  ω_UH² = ω_pe² + Ω_ce²   (шар нагріву ECRH)
  ω_LH² = Ω_ci Ω_ce · (ω_pi² + Ω_ci²) / (ω_pi² + ω_pe² + Ω_ci²)

Нагрів ICRH:
  ω = Ω_ci = eB/m_i   (іон-циклотронний резонанс)
  Нагрів меншинного виду: H як домішка в D-плазмі поглинає потужність
  Введена потужність: P ≈ 10–20 МВт на антенну систему в ITER
          

6. Інерціальний термоядерний синтез

Інерціальний термоядерний синтез (ІТС) використовує потужні лазерні імпульси (або рентгенівське випромінювання з лазерного «хольраума») для абляції зовнішньої оболонки паливної капсули міліметрового розміру. Реактивна віддача стискає паливо D-T до густини, у тисячі разів більшої за тверду речовину, одночасно ударно нагріваючи центральну «гарячу точку» до температур синтезу. Плазма утримується інерціально — власною масою — впродовж наносекунд до того, як розлетиться.

Вимоги до приводу ІТС (непрямий привід):
  Радіаційна температура хольраума в рентгенівському діапазоні: T_r ≈ 300 еВ
  Енергія лазера: E_L ≈ 2,05 МДж (NIF, 192 промені, 351 нм)
  Поглинуто капсулою: ~150 кДж

Стиснення:
  Коефіцієнт конвергенції CR = R_початковий / R_кінцевий ≈ 35
  Кінцева густина: ρ ≈ 1000 г/см³  (≈ у 400 разів більша за тверду DT)
  Температура гарячої точки: T_hs ≈ 10 кеВ (100 мільйонів К)

Умова запалювання (гаряча точка):
  ρR_hs ≥ 0,3 г/см²   (параметр утримання)

Нестійкість Релея-Тейлора (головний обмежувальний фактор):
  Зростає на фронті абляції: γ = √(A_t k g), де A_t — число Атвуда
  Вимагає шорсткості поверхні < 50 нм СКВ на капсулі

Віха запалювання NIF (грудень 2022):
  Введена лазерна енергія: 2,05 МДж
  Отримана енергія синтезу: 3,15 МДж   (Q = 1,54 → наукове запалювання)
  Час утримання: τ ≈ 100 пс
  Перше в історії лабораторне термоядерне запалювання
          

Спробуйте ці симуляції