Огляд №29 – Фізика плазми: дебаївське екранування, полярне сяйво, утримання термоядерного синтезу та магнітогідродинаміка

Плазма — це іонізований газ: сукупність вільних електронів та позитивних іонів, у якій дальнодійні електромагнітні сили відіграють домінівну роль, а не короткодіючі зіткнення. Плазма існує всюди, де теплової або електромагнітної енергії достатньо для іонізації атомів — у надрах зір при 10 мільйонах градусів, у люмінесцентних лампах при 20 000 К, у каналах блискавки при 30 000 К і в термоядерних токамаках при 150 мільйонах градусів.

Ключова властивість, що відрізняє плазму від випадкової суміші іонів та електронів, — це її колективна поведінка: заряджені частинки реагують на поля одна одної на відстанях, значно більших за відстань між ними, породжуючи хвилі, нестійкості та здатність утримувати струми й магнітні поля. Розуміння поведінки плазми вимагає як фізики окремих частинок (циклотронний рух, дрейфи), так і теорії суцільного середовища (магнітогідродинаміка, МГД).

1. Дебаївське екранування — довжина самоекранування плазми

Помістіть позитивний пробний заряд у плазму. Найближчі електрони притягуються, а іони відштовхуються; утворена хмара заряду частково екранує «голе» кулонівське поле. Характерна відстань, на якій екранування ефективне, — це дебаївська довжина λ_D. За межами цієї відстані плазма виглядає електрично нейтральною; всередині неї окремі частинки відчувають значні електричні поля. Дебаївська довжина — найфундаментальніший масштаб довжини будь-якої плазми.

Електричний потенціал навколо пробного заряду q у плазмі:
  φ(r) = (q / 4πε_0 r) · exp(−r/λ_D)   (потенціал Юкави / екранований кулонівський потенціал)
  λ_D = дебаївська довжина

Дебаївська довжина (домінує екранування електронами):
  λ_D = √(ε_0 k_B T_e / n_e e²)
  T_e = температура електронів, n_e = концентрація електронів

Числові значення:
  Сонячна корона:  T_e ~ 10^6 К,  n_e ~ 10^12 м^−3  → λ_D ~ 0,07 м
  Іоносфера:       T_e ~ 1500 К,  n_e ~ 10^11 м^−3  → λ_D ~ 0,003 м
  Токамак:         T_e ~ 10^8 К,  n_e ~ 10^20 м^−3  → λ_D ~ 7 × 10^−5 м
  Люмінесцентна лампа: T_e ~ 2 еВ, n_e ~ 10^18 м^−3  → λ_D ~ 10^−5 м

Критерії плазми (умови для колективної поведінки):
  1. Квазінейтральність: розмір системи L ≫ λ_D   (об'єм нейтральний; відхиляються лише оболонки)
  2. Багато частинок у дебаївській сфері: N_D = (4/3)πλ_D³ n ≫ 1
     N_D ≫ 1 гарантує справедливість припущення про безперервний розподіл.
  3. Плазмова частота ω_p ≫ частота зіткнень ν_зіткнень
     ω_p = √(n_e e² / ε_0 m_e)   (частота плазмових коливань)
     При f < f_p = ω_p/2π електромагнітні хвилі не можуть поширюватися (відбиття).

Плазмова оболонка (шар):
  На межі квазінейтральність порушується на відстані ~ кілька λ_D.
  Оболонка — тонкий шар просторового позитивного заряду, що забезпечує відсутність чистого струму.
  Фізика оболонки керує взаємодією плазма-матеріал як у виробництві чипів, так і в термоядерних токамаках.

2. Рух заряджених частинок — спіралі, дрейфи та магнітні дзеркала

Заряджена частинка в однорідному магнітному полі рухається по колу: сила Лоренца qv×B діє перпендикулярно до швидкості, забезпечуючи доцентрове прискорення. Разом із будь-якою складовою швидкості вздовж поля рух стає гвинтовим (спіральним). Неоднорідні поля породжують систематичні дрейфи, перпендикулярні як до поля, так і до його градієнта. Ці дрейфи окремих частинок лежать в основі великомасштабних потоків плазми в магнітосфері Землі та в термоядерних установках.

Циклотронний (гіро-) рух:
  Рівняння: m dv/dt = qv × B
  Круговий рух перпендикулярно до B з:
    Циклотронна частота: ω_c = |q|B/m   (кутова частота)
    Ларморівський радіус: r_L = mv_⊥ / |q|B = v_⊥ / ω_c
  У поєднанні з v_∥ вздовж B: гвинтова траєкторія

Ларморівські радіуси (у полі 1 Тл):
  Електрон (m = 9,1×10^−31 кг, T_e = 100 еВ → v_⊥ = 1,87×10^8 м/с):  r_L ~ 1 мм
  Протон   (m = 1,67×10^−27 кг, T_i = 100 еВ → v_⊥ = 1,38×10^5 м/с):  r_L ~ 1,4 мм
  Альфа-іон (m = 6,64×10^−27 кг, T = 3,5 МеВ → v_⊥ = 1,3×10^7 м/с):   r_L ~ 20 см

E×B дрейф (у поєднаних електричному та магнітному полях):
  v_{E×B} = (E×B) / B²   (не залежить від заряду й маси частинки!)
  Він відповідає за загальний обʼємний потік плазми; іони й електрони дрейфують разом.

Градієнтний дрейф (у неоднорідному B):
  v_{∇B} = (1/2) v_⊥ r_L (∇B × B) / B²   (залежить від заряду)
  Напрямок: протилежний для іонів та електронів → породжує чистий струм.

Дрейф кривизни:
  У викривленому магнітному полі (радіус кривизни R_c):
  v_c = (mv_∥² r_L) / (qB R_c²) (&hat;R_c × B)
  Дрейфи кривизни й градієнта створюють кільцевий струм у радіаційних поясах Ван Аллена Землі.

Ефект магнітного дзеркала:
  Заряджена частинка, що рухається зі слабкого в сильне B, відбивається, якщо кут нахилу α < α_дзеркало:
  sin²α_дзеркало = B_min / B_max   (коефіцієнт дзеркала)
  Радіаційні пояси Ван Аллена — це магнітні пастки: частинки відскакують між точками дзеркала.

3. Полярне сяйво — заряджені частинки, що малюють небо

Полярне сяйво — пряме візуальне наслідок фізики окремих частинок плазми. Електрони й протони сонячного вітру спрямовуються вздовж дипольних ліній магнітного поля Землі, рухаючись по спіралі до полярних регіонів. Там, де лінії поля занурюються у верхню атмосферу, енергійні частинки стикаються з молекулами кисню й азоту, збуджуючи їх до вищих енергетичних станів. Випромінювання світла при розпаді цих станів створює характерні кольори полярного сяйва.

Параметри сонячного вітру (типові):
  v_sw ~ 400–700 км/с (швидкість)
  n_sw ~ 5–15 см^−3 (концентрація протонів на відстані 1 а.о.)
  B_IMF ~ 5–10 нТл (міжпланетне магнітне поле)
  Енергія протона: ½m_p v² ~ 1–3 кеВ

Струмовий шар Чепмена-Ферраро:
  Сонячний вітер відхиляється дипольним полем Землі на магнітопаузі (~10 R_E з боку Сонця).
  Магнітне перез'єднання на денній магнітопаузі впорскує частинки в магнітосферу.
  Перез'єднання також відбувається в хвості магнітосфери, прискорюючи частинки до Землі.

Висоти й кольори осадження частинок:
  O (атомарний кисень) зелена лінія 557,7 нм:   висота 90–150 км  (найпоширеніша)
  O (атомарний кисень) червона лінія 630,0 нм:   висота 200–300 км  (м'якіші електрони, <1 кеВ)
  N&sub2;+ синьо-фіолетова 391,4 нм:              висота 60–100 км  (жорсткі електрони, >50 кеВ)
  Висота випромінювання корелює з енергією частинок: жорсткіші частинки проникають глибше.

Індекс Kp і овал полярного сяйва:
  Kp 0–2: сяйво видно лише вище 65° геомагнітної широти
  Kp 5–6: видно до ~55° (Шотландія, Канада, Німеччина)
  Kp 9 (буря): видно до <40° (південь США, Центральна Європа, Японія)

Цикл суббурі:
  1. Фаза зростання (~1 год): магнітний потік накопичується в хвості магнітосфери
  2. Початок: вибухове перез'єднання в ближньому до Землі хвості
  3. Розширення: яскравий сплеск поширюється на захід уздовж овалу сяйва
  4. Відновлення: поступове згасання; залишаються спокійні дуги
  Енергія за велику бурю: ~ 10^17 Дж (порівнянно з тисячами ядерних боєзарядів)

4. Термоядерний синтез у токамаці — утримання зорі в пляшці

Ядерний синтез — джерело енергії зір — вимагає температури плазми 100–200 мільйонів градусів Цельсія. За таких температур ядра дейтерію й тритію долають своє електростатичне відштовхування та зливаються, вивільняючи гелій і енергійний нейтрон. Виклик — утримувати таку екстремальну плазму достатньо довго й гаряче, щоб вихідна енергія перевищувала вхідну. Токамак, тороїдальний пристрій магнітного утримання, наразі є провідним підходом.

Реакція D–T синтезу:
  ₁²H + ₁³H → ₂&sup4;He (3,52 МеВ) + n (14,06 МеВ)
  Загалом: 17,59 МеВ на реакцію (проти ~200 МеВ для поділу U-235)
  Пік перерізу: ~5 барн при E_cm ~ 100 кеВ (T ~ 10^8 К)

Критерій Лоусона (умова запалення / точки беззбитковості):
  n τ_E T ≥ n τ_E T|_запалення ~ 3 × 10^21 м^−3 с кеВ  (для D–T)
  n = густина плазми (м^−3)
  τ_E = час утримання енергії (с)
  T = температура (кеВ, де 1 кеВ = 11,6 мільйона К)
  Термоядерна потужність: P_fus ~ n² ⟨σv⟩ E_fus / 4  (для суміші D–T 50–50)

Світовий рекорд JET (2022):
  59 МДж термоядерної енергії за 5 с → 11,8 МВт стало
  n τ_E T ~ 1,5 × 10^20 м^−3 с кеВ  (у ~20 разів нижче запалення)

ITER (у будівництві):
  Великий радіус R = 6,2 м, малий радіус a = 2 м, обʼєм плазми ~840 м³
  Мета: Q = P_fus / P_heat ≥ 10  (500 МВт на виході, 50 МВт на вході)
  Очікуване n τ_E T ~ 6 × 10^21 (близько до запалення)

Рівновага МГД (токамак):
  Рівняння Ґрада-Шафранова (осесиметрична рівновага):
    Δ*ψ = −μ_0 R² dp/dψ − f df/dψ
    ψ = функція полоїдального магнітного потоку
    p = тиск, f = RB_φ (функція тороїдального поля)
  Розв'язок дає вкладені поверхні потоку; плазма утримується на торах.
  Коефіцієнт запасу стійкості: q = r B_φ / (R B_θ)  (відношення обертів тороїдального до полоїдального поля)
  Стійкість вимагає q > 1, щоб уникнути кінк-нестійкості; типове q ~ 3–5 на краю плазми.

Ключові нестійкості:
  Кінк-нестійкість (q < 1): лінії поля перекручуються, спричиняючи зрив
  Балонна мода: плазма випинається назовні при високому β (відношення тиску плазми до магнітного тиску)
  ELM (локалізовані моди на краю): періодичні викиди на краю плазми; потребують контролю для захисту стінки.

5. Магнітогідродинаміка — плазма як провідна рідина

Коли масштаби довжини й часу, що нас цікавлять, значно більші за дебаївську довжину та циклотронний період, плазму можна розглядати як єдину провідну рідину — магнітогідродинаміка (МГД). МГД описує поширення сонячного вітру, генерацію геомагнітного поля, формування астрофізичних струменів та великомасштабну стійкість термоядерної плазми.

Ідеальні рівняння МГД (одна рідина, ідеальний провідник):
  Неперервність:  ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
  Момент:         ρ Dv/Dt = −∇P + J×B
  Енергія:        D/Dt (P/ρ²) = 0   (адіабатичний процес)
  Індукція:       ∂B/∂t = ∇×(v×B)   (теорема вмороженого потоку: B рухається разом з рідиною)
  Закон Ома:      E + v×B = ηJ      (η = питомий опір, η = 0 для ідеальної МГД)
  Замикання:      ∇×B = μ_0 J,   ∇·B = 0

Хвиля Альфвена (поперечна хвиля вздовж B):
  Фазова швидкість: v_A = B / √(μ_0 ρ)   (швидкість Альфвена)
  У сонячній короні: B ~ 100 Гс, ρ ~ 10^−12 кг/м³ → v_A ~ 3 × 10^6 м/с ~ 0,01 c
  Хвилі Альфвена переносять енергію вздовж ліній поля і, як вважають, нагрівають корону.

Теорема вмороженого потоку (ідеальна МГД):
  Лінії магнітного поля «вморожені» в плазму: коли плазма рухається, лінії поля рухаються разом з нею.
  Наслідок: у ідеальній МГД магнітна топологія зберігається.

Магнітне перез'єднання (резистивна МГД):
  Там, де зустрічаються лінії поля протилежної полярності, ненульовий опір η ≠ 0 дозволяє лініям
  поля розірватися й перез'єднатися в нову топологію, вибухово вивільняючи накопичену магнітну енергію.
  Швидкість Світа-Паркера: v_rec ~ v_A / √(S)   (S = число Лундквіста = μ_0 v_A L / η ~ 10^12 у сонячній короні)
  Спостережувана швидкість перез'єднання ~ 10^−2 v_A  (набагато швидша: проблема «швидкого перез'єднання»)
  Спричиняє сонячні спалахи (до 10^25 Дж), корональні викиди маси (CME) та геомагнітні бурі.

Магнітний тиск і натяг:
  Магнітний тиск: P_B = B² / (2μ_0)  (діє як тиск газу, ізотропний)
  Магнітний натяг: T_B = B² / μ_0  (діє як натягнута струна вздовж ліній поля)
  Бета плазми: β = P_плазма / P_B = n k_B T / (B²/2μ_0)
  Ядро токамака: β ~ 0,03–0,1;  Сонячна корона: β ~ 0,01–0,1;  Сонячний вітер: β ~ 1

Магнітне перез'єднання — одна з центральних невирішених проблем фізики плазми. У рамках резистивної МГД передбачена швидкість перез'єднання є занадто повільною, щоб пояснити спостережувані сонячні спалахи, які можуть вивільняти свою енергію за лічені хвилини. Сучасні теорії — зокрема холлівська МГД, електронно-масштабна фізика та перез'єднання, зумовлене турбулентністю — здатні відповідати спостережуваним швидким темпам, але залишаються предметом активних експериментальних досліджень. Місія Parker Solar Probe, запущена 2018 року і зараз літаюча в межах 9 сонячних радіусів, збирає прямі вимірювання областей перез'єднання, які безпосередньо перевірять ці теорії.

Плазма: домінівний стан Всесвіту

Понад 99% усієї видимої речовини у Всесвіті перебуває в стані плазми. Кожна зоря, кожне активне ядро галактики, кожна іонізована туманність і кожна частинка сонячного вітру — плазма. Проте на Землі плазма — лабораторна цікавинка, промисловий інструмент (травлення чипів, зварювання, неонові вивіски) або перехідне явище (блискавка, полум'я). Симуляції цієї хвилі простежують міст від земних явищ — люмінесцентних трубок і полярних завіс — до астрофізичних процесів у плазмі, що керують еволюцією зір, посиленням магнітного поля та енергетичним бюджетом скупчень галактик. Усе за тими самими рівняннями: законами Максвелла та другим законом Ньютона для заряджених частинок.