Навчальний #41: Квантова конденсована речовина — від куперівських пар до топологічних крайових станів

Надпровідність БКШ: куперівські пари та енергетична щілина

Несподіване відкриття в основі теорії БКШ (Бардін, Купер і Шріффер, 1957) полягає в тому, що електрони в металі можуть притягуватися один до одного. Електрони мають негативний заряд і у вакуумі відштовхуються силою Кулона, проте в кристалічній ґратці тонка взаємодія, опосередкована фононами, долає це відштовхування за низьких температур. Один електрон злегка деформує іонну ґратку, залишаючи область із надлишковим позитивним зарядом, яка притягує другий електрон. Два електрони, розділені у просторі відстанню до кількох сотень нанометрів і з протилежними імпульсами та протилежними спінами, утворюють зв'язаний стан, що зветься куперівською парою.

Енергія зв'язку куперівської пари експоненційно мала відносно константи електрон-фононної взаємодії λ. Рівняння щілини БКШ за нульової температури дає:

Δ(0) ≈ 2ℏωD exp(−1 / N(0)V)

де ωD — дебаєвська частота ґратки, N(0) — густина станів на рівні Фермі, а V — ефективна константа електрон-фононної взаємодії. Ця щілина Δ — це енергетична «вартість» розриву куперівської пари; вона розкривається симетрично навколо енергії Фермі й пояснює, чому надпровідники мають нульовий опір на постійному струмі — розсіювальні події, що зазвичай псують звичайний струм, не можуть розірвати пари, якщо теплова енергія kBT < 2Δ.

Макроскопічний квантовий стан усіх куперівських пар описується єдиною хвильовою функцією конденсату Ψ(r) = |Ψ| eiθ. Фаза θ когерентна в усьому надпровіднику — примітний факт із прямими експериментальними наслідками. Густина надструму:

Js = (nse2/m*) (A − (ℏ/2e) ∇θ)

де ns — густина надплинної компоненти, а A — векторний потенціал. Це рівняння Лондонів; воно передбачає ефект Мейснера (виштовхування магнітного потоку) та квантування потоку одиницями кванта потоку Φ0 = h / 2e ≈ 2.07 × 10−15 Вб.

Ефект Джозефсона: тунелювання фази через перехід

У 1962 році Браян Джозефсон передбачив, що якщо два надпровідники розділені тонким ізоляційним бар'єром, куперівські пари можуть когерентно тунелювати крізь нього без будь-якої прикладеної напруги. Надструм залежить лише від різниці фаз φ = θ1 − θ2 на переході:

I = Ic sin φ

Це стаціонарний ефект Джозефсона (DC): статичний надструм без падіння напруги, регульований від +Ic до −Ic зміною φ. Коли до переходу прикладено постійну напругу V, фаза еволюціонує з частотою Джозефсона:

dφ/dt = 2eV / ℏ

що породжує змінний струм з частотою f = 2eV / h ≈ 483.6 МГц на мікровольт. Цей змінний ефект Джозефсона (AC) настільки точний, що є метрологічним стандартом вольта: BIPM з 1990 року використовує масиви переходів Джозефсона для реалізації вольта з точністю краще однієї частки на 10⁹.

Два переходи Джозефсона, з'єднані у контур, утворюють СКВІД (надпровідний квантовий інтерференційний пристрій). Критичний струм осцилює як функція охопленого магнітного потоку з періодом Φ0. СКВІДи фіксують магнітні поля величиною лише кілька фемтотесла — далеко нижче порогу шуму будь-якого напівпровідникового сенсора — що робить їх незамінними в нейровізуалізації (МЕГ) та фундаментальних фізичних експериментах з пошуку аксіонів і гравітаційних хвиль.

Конденсація Бозе-Ейнштейна: макроскопічна хвильова функція

Куперівські пари несуть цілий спін (два електрони зі спіном 1/2 комбінуються, даючи спін 0 або 1), тому є бозонами. На бозони не поширюється принцип заборони Паулі, і за достатньо низької температури вони всі можуть зайняти один і той самий одночастинковий основний стан. Це і є конденсація Бозе-Ейнштейна (КБЕ), передбачена Ейнштейном у 1925 році на основі роботи Бозе про статистику фотонів. Частка конденсату нижче критичної температури Tc масштабується як:

N0/N = 1 − (T/Tc)3/2

для тривимірного невзаємодіючого газу. Оскільки всі атоми конденсату займають один і той самий квантовий стан, їхня колективна поведінка описується єдиною макроскопічною хвильовою функцією — яку іноді називають параметром порядку:

Ψ(r, t) = √n0 eiθ(r,t)

де n0 — густина конденсату. Динаміка цієї хвильової функції підпорядковується рівнянню Гросса-Пітаєвського — нелінійному рівнянню Шредінгера, що враховує взаємодії атомів у наближенні середнього поля. З цього рівняння випливають квантовані вихори (циркуляція квантується одиницями h/m), звукоподібні збудження Боголюбова та інтерференційні смуги між двома незалежними конденсатами — останні вперше спостерігали в MIT у 1997 році Ендрюс та колеги.

КБЕ лужних атомів (рубідій-87, натрій-23, літій-7) вперше реалізували у 1995 році за температур близько 170 нанокельвінів. Слабко взаємодіючі КБЕ нині використовують як «чисті» квантові симулятори: завантажуючи їх в оптичні ґратки, можна відтворити модель Хаббарда, реалізувати топологічні зонні структури і навіть вивчати аналог випромінювання Хокінга поблизу звукового горизонту в потоці конденсату.

Топологічні ізолятори: відповідність «об'єм-край»

Топологічний ізолятор (ТІ) є ізолятором усередині, але підтримує ідеально провідні стани на своїй поверхні або краях. Поверхневі стани — не випадковість поверхневої хімії, вони гарантовані відповідністю «об'єм-край»: топологічний інваріант, обчислений із зонної структури об'єму, визначає, скільки провідних крайових мод обов'язково існуватиме на будь-якій межі з тривіально ізолюючим середовищем (включно з вакуумом).

Найпростіший двовимірний приклад — квантовий стан Холла. Під дією сильного перпендикулярного магнітного поля в об'ємі формуються плоскі рівні Ландау з щілиною між ними, тоді як краї зразка несуть кіральні крайові моди, що поширюються лише в одному напрямку. Цілочисельна квантова провідність Холла:

σxy = n e2 / h

де n — число Черна, цілочисельний топологічний інваріант, що показує, скільки разів заповнені блохівські стани обертаються навколо тора зони Бріллюена. Оскільки n — ціле число і не може змінитися без закриття об'ємної щілини, провідність Холла стійко квантується з точністю до однієї частки на 10⁹ незалежно від безладу чи геометрії зразка. Саме тому квантовий ефект Холла визначає стандарт опору (стала фон Клітцинга RK = h/e2 ≈ 25 813 Ω).

У тривимірних топологічних ізоляторах з інваріантністю відносно обернення часу (наприклад, Bi₂Se₃ та Bi₂Te₃) сильна спін-орбітальна взаємодія інвертує заборонену зону в певних інваріантних щодо обернення часу точках імпульсу, породжуючи топологічний інваріант Z₂. Отримані поверхневі стани утворюють єдиний діраківський конус із прив'язкою спіна до імпульсу: електрон, що рухається в певному напрямку, має спін, зафіксований перпендикулярно до імпульсу. Це пригнічує зворотне розсіювання на немагнітних домішках (симетрія обернення часу забороняє «розвороти на 180°»), роблячи поверхневу провідність стійкою.

Актуальні дослідження прагнуть поєднати поверхні ТІ з надпровідниками. Теорія передбачає, що на межі виникають ферміони Майорани — квазічастинки, що є власними античастинками. Зв'язані стани Майорани кодують кубіти нелокально, роблячи їх стійкими до локальної декогеренції та відкриваючи шлях до топологічно захищених квантових обчислень.

Спробуйте самі

Наступні інтерактивні симуляції дозволяють дослідити ці явища безпосередньо — змінюйте температури, константи взаємодії та параметри переходів і спостерігайте квантову поведінку в реальному часі.

Насамкінець

Що об'єднує куперівські пари, конденсати Бозе-Ейнштейна та топологічні крайові стани, так це ідея, що квантова механіка — не лише теорія окремих частинок, а теорія колективного порядку. Макроскопічна хвильова функція, глобально когерентна фаза, топологічний інваріант — усе це способи, якими квантові кореляції об'єднують поведінку 10²³ частинок і породжують ефекти, що взагалі не мають класичного аналога. Той факт, що такі ефекти вже інженерно втілені в кубітах, стандартах напруги та пристроях медичної візуалізації, свідчить, що XXI століття значною мірою належить квантовій конденсованій речовині.

Якщо хочете зануритися глибше, природний наступний крок — вивчити рівняння Боголюбова-де Женна, що об'єднують картини БКШ і КБЕ, а потім розглянути, як обчислюються топологічні зонні інваріанти (числа Черна, інваріанти Z₂) із кривини Беррі в зоні Бріллюена. Кожен із цих напрямків веде до активного фронтиру фізики конденсованого стану.