1987 року Пер Бак, Чао Тан і Курт Візенфельд опублікували оманливо просту модель, яка переосмислила підхід фізиків до складності. У їхній статті введено термін самоорганізована критичність (СОК) і запропоновано, що багато природних систем — геологічні, біологічні, економічні — спонтанно еволюціонують до критичного стану без будь-якого зовнішнього тонкого налаштування. Купа піску BTW — канонічний приклад, і її поведінка розкриває напрочуд широкий спектр явищ.
Купа піску BTW: одне правило, нескінченна складність
Модель задана на двовимірній сітці. Кожна клітинка i містить ціле число
піщинок, z(i). Динаміка керується єдиним правилом обвалення: якщо нахил
(чи кількість піщинок) у будь-якій клітинці перевищує поріг zc,
ця клітинка обвалюється — вона втрачає чотири піщинки, а кожен із чотирьох її сусідів
отримує по одній. Піщинки, що падають за межу сітки, просто зникають.
if z(i,j) >= z_c:
z(i,j) -= 4
z(i+1,j) += 1
z(i-1,j) += 1
z(i,j+1) += 1
z(i,j-1) += 1Пісок додається на сітку по одній піщинці у випадкову позицію. Купа поступово стає крутішою. Спочатку більшість додавань взагалі не спричиняє обвалень. Коли середній нахил наближається до критичного порогу по всій ґратці, виникає багата структура лавин. Тоді кажуть, що система перебуває в критичній точці.
Що робить СОК справді дивовижною, так це те, що критичність тут самоорганізована. У звичайних критичних явищах — кипінні води, втраті намагніченості феромагнетиками при температурі Кюрі — критичність є ізольованою точкою в просторі параметрів, що вимагає ретельного зовнішнього налаштування температури, тиску чи напруженості поля. Купа піску BTW налаштовує себе сама. Вам не потрібно обирати особливу швидкість додавання піщинок чи особливий поріг. Будь-який тривалий прогін зрештою приводить до критичного стану.
Степеневі закони: відбиток критичності
Щойно купа піску досягає критичного стану, розподіл розмірів лавин s
підпорядковується степеневому закону:
P(s) ~ s^(-tau)
де показник τ ≈ 1.0–1.5 залежить від розмірності моделі.
На графіку в логарифмічно-логарифмічному масштабі це виглядає як пряма лінія з від'ємним
нахилом. Степеневий закон не має характерного масштабу — не існує «типового» розміру
лавини. Малі лавини дуже поширені; великі — рідкісні; але події будь-якого розміру
трапляються, і співвідношення ймовірностей залежить лише від співвідношення розмірів,
а не від самих розмірів.
Просторовий профіль лавини теж фрактальний. У критичній точці кластери обвалень мають
фрактальну розмірність Df ≈ 2.75 у двох вимірах, тобто це
не компактні плями і не прості лінії, а нерівно розгалужені структури, що заповнюють
простір нецілим чином.
Чому експоненційних розподілів недостатньо
Багато знайомих стохастичних процесів дають експоненційні хвости: час очікування між подіями Пуассона, розпад радіоактивного ядра. Експоненційні хвости мають характерний масштаб (середнє значення), тож великі відхилення пригнічуються експоненційно. Степеневі системи принципово інші: вони допускають події «чорного лебедя», які лише малоймовірні, але не нехтовно малоймовірні. Землетрус магнітудою 8 не є надзвичайно рідкіснішим за землетрус магнітудою 7 — він приблизно вдесятеро рідкісніший, що узгоджується із законом Гутенберга–Ріхтера:
log N(M) = a - b*M (b ~ 1)
де N(M) — кількість землетрусів магнітудою не менше M. Цей
степеневий закон виконується на шести порядках величини й є одним із найстійкіших
емпіричних законів у геофізиці.
СОК у природі: землетруси, нейрони та ліси
Закон Гутенберга–Ріхтера був відомий за десятиліття до моделі BTW, але СОК надала йому механістичне тлумачення. Земна кора, повільно навантажувана тектонічним напруженням і розвантажувана раптовими зсувами, поводиться подібно до постійно керованої купи піску. Кора самостійно налаштовується до стану, в якому розломні системи всюди перебувають на межі розриву, а розподіл розмірів зсувів є степеневим.
Нейронні лавини
Мабуть, найяскравіше застосування СОК — у нейронауці. Беггс і Пленц (2003) записали
локальні польові потенціали з культур кіркових зрізів і виявили, що спонтанні спалахи
нейронної активності — тепер їх називають нейронними лавинами —
підпорядковуються степеневому розподілу розмірів із показником
τ ≈ 1.5, точно як передбачали моделі СОК. Той самий показник
відтоді спостерігали в неспаних приматів, знеболених щурів і в ЕЕГ людини під час
записів у стані спокою.
Чому мозок мав би працювати поблизу критичної точки? Теоретичні роботи припускають, що в критичній точці мережі максимізують свій динамічний діапазон (відношення найбільшого до найменшого сигналу, що виявляється), пропускну здатність передачі інформації та чутливість до слабких вхідних сигналів. Мозок, який або занадто спокійний (докритичний), або занадто схильний до нападів (надкритичний), гірший за всіма цими показниками. СОК може бути функціональним оптимумом.
Лісові пожежі та модель Дроссель–Швабль
Модель лісових пожеж Дроссель–Швабль розширює ідеї BTW: дерева випадково ростуть на сітці; час від часу вдаряють блискавки; пожежі поширюються на сусідні дерева, що горять, а потім згасають. За відповідного співвідношення швидкості росту до швидкості займання модель дає безмасштабні розподіли розмірів пожеж. Реальні супутникові дані про лісові пожежі демонструють подібну степеневу статистику, хоча дискусії про точні показники та керівні механізми в різних біомах тривають.
За межами купи піску: СОК і ренормалізація
Математична мова, що лежить в основі СОК, пов'язує її з групою ренормалізації (РГ) — апаратом, яким фізики користуються для розуміння фазових переходів. У критичній точці система виглядає однаково на кожному масштабі спостереження. РГ описує це, показуючи, що параметри системи «течуть» під час перемасштабування до нерухомої точки. У СОК ця нерухома точка досягається динамічно, а не шляхом налаштування зовнішніх параметрів — риса, яку Бак і колеги назвали «перерваною рівновагою» на межі хаосу.
Точні показники, що передбачаються моделлю BTW у двох вимірах, обчислено аналітично за допомогою математики абелевих куп піску. Модель абелева, тому що порядок, у якому ви обвалюєте клітинки, не впливає на кінцеву стабільну конфігурацію, лише на шлях до неї. Ця комутативність дозволяє отримати точні розв'язки через остовні дерева на ґратці — результат, що пов'язує СОК зі статистичною механікою й комбінаторикою у несподіваний спосіб.
Відкриті питання
Попри тридцять років досліджень, СОК не є завершеною теорією. Ключові відкриті питання:
- Які системи справді демонструють СОК, а які мають степеневі закони з інших причин (наприклад, мультиплікативний шум чи преференційне приєднання)?
- Чи зберігаються нейронні лавини під наркозом, чи біологічні механізми на кшталт синаптичної депресії та короткочасної пластичності є суттєвими?
- Чи можна виміряти показники СОК у природі досить точно, щоб відрізнити конкуруючі моделі?
- Чи мозок активно регулює свою відстань від критичної точки, використовуючи нейромодулятори на кшталт дофаміну й ацетилхоліну як важелі керування?
Спробуйте самі
Найкращий спосіб розвинути інтуїцію щодо СОК — спостерігати за розгортанням лавин у реальному часі. Наведені нижче симуляції на mysimulator.uk дозволяють інтерактивно дослідити описані явища прямо в браузері.
У симуляторі купи піску встановіть ґратку щонайменше 128×128 клітинок і дайте їй попрацювати кілька тисяч скидань піщинок, перш ніж знімати гістограму розмірів. Розподілу потрібна велика вибірка, щоб чітко проявити свій степеневий хвіст. Можете також спробувати подвоїти поріг обвалення й переконатися, що показник стійкий — змінюється лише довжина відсічення (максимальний розмір лавини, який допускає ґратка).
Завершальна думка
Самоорганізована критичність дає чудову відповідь на питання, чому так багато природних систем демонструють безмасштабну поведінку. Замість того, щоб потребувати ретельної зовнішньої руки, яка налаштовує їх до критичної точки, вони еволюціонують туди самостійно, керовані не більш ніж повільним навантаженням і пороговою дисипацією. Отримані степеневі закони — не статистичні випадковості; це відбиток динамічної нерухомої точки, до якої систему безперервно тягне.
Купа піску BTW у певному сенсі — одна з найпростіших систем, здатних бути по-справжньому дивовижною на кожному масштабі. Одна піщинка, кинута на критичну купу, може не зробити нічого — або може спричинити каскад, що перебудує половину ґратки. Ця невизначеність — не шум, який слід усереднити й відкинути; це і є фізика.