Аналіз Фур'є
Жозеф Фур'є показав у 1822 році, що будь-яку періодичну функцію можна розкласти на суму синусів і косинусів. Сучасне швидке перетворення Фур'є (FFT) обчислює цей розклад за час O(N log N) — що уможливлює еквалайзинг аудіо в реальному часі, стиснення зображень та бездротовий зв'язок.
Ряди Фур'є
Побудуйте квадратну, трикутну та пилкоподібну хвилі, додаючи гармоніки одну за одною. Спостерігайте, як виникає феномен Гіббса (9% перерегулювання на розривах) у міру додавання членів ряду.
Аналізатор спектра FFT
Спектр у реальному часі з мікрофонного входу або синтезованих хвильових форм. Радикс-2 FFT Кулі-Тьюкі з вікном Ганна — порівняйте спектр амплітуди та спектральну густину потужності.
Дискретне перетворення Фур'є та FFT Кулі-Тьюкі
DFT: X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] · e^{−j2πkn/N} O(N²)
FFT: радикс-2 «метелик» Кулі-Тьюкі → O(N log₂ N)
Найквіст: f_sample ≥ 2 · f_max, щоб уникнути накладання спектрів
Парсеваль: Σ|x[n]|² = (1/N) Σ|X[k]|² (енергія зберігається)
Цифрові фільтри
Цифровий фільтр формує частотний вміст дискретизованого сигналу. Фільтри FIR (з кінцевою імпульсною характеристикою) мають лінійну фазу та гарантовану стабільність; фільтри IIR (з нескінченною імпульсною характеристикою) забезпечують крутіший спад амплітудно-частотної характеристики при меншій кількості коефіцієнтів ціною потенційної нестабільності та фазових спотворень.
Конструктор цифрових фільтрів
Проєктуйте фільтри нижніх частот, верхніх частот, смугові та загороджувальні (notch). Оберіть FIR (віконна sinc-функція, Паркс-Мак-Клеллан) або IIR (Баттерворт, Чебишов). Перегляньте імпульсну, перехідну характеристику та діаграму Боде.
RC-фільтр (аналоговий)
RC-фільтри нижніх та верхніх частот першого порядку. Стала часу τ=RC, −3 дБ на частоті f_c=1/(2πRC). Амплітудна й фазова діаграми Боде, реакція на одиничний стрибок — місток до теорії цифрових фільтрів.
Модуляція та бездротовий зв'язок
Модуляція кодує інформацію на несучій хвилі, щоб вона могла ефективно проходити через канал. AM і FM — аналогові стандарти; OFDM — основа 4G/5G, WiFi та цифрового телебачення: вона розбиває спектр на сотні вузьких ортогональних підносіїв, щоб подолати завмирання через багатопроменеве поширення (multipath fading).
AM і FM модуляція
Амплітудна та частотна модуляція пліч-о-пліч. Регулюйте індекс модуляції m (AM) або девіацію Δf (FM) і порівнюйте ширину смуги, правило Карсона та SNR демодуляції.
OFDM (ортогональне частотне мультиплексування)
N підносіїв з інтервалом Δf=1/T — умова ортогональності. Візуалізуйте циклічний префікс, захисні інтервали, еквалізацію каналу та проблему PAPR, що переслідує 5G.
Кола та хвильові явища
Резонанс RLC
Послідовні та паралельні RLC-кола — резонансна частота ω₀=1/√(LC), добротність Q=ω₀L/R. Налаштуйтеся на резонанс і спостерігайте провал імпедансу, пік струму, зміну фази.
Ефект Допплера
Рухомі джерело та спостерігач — f_obs = f_s(v±v_obs)/(v∓v_src). Візуалізуйте стиснення хвильових фронтів попереду й розширення позаду, конус Маха та релятивістський зсув Допплера.
Чому OFDM переважає одноносійну модуляцію в багатопроменевих каналах? У багатопроменевому каналі (відбиття від стін, пагорбів) кожен промінь приходить із власною затримкою, розмазуючи символ одноносійної модуляції на сусідні символи (міжсимвольна інтерференція, ISI). OFDM розбиває смугу пропускання на вузькі підносії, де тривалість символу кожного підносія набагато більша за розкид затримок каналу — ISI впливає лише на циклічний префікс, а не на корисне навантаження, і одне комплексне множення на підносій коригує весь канал.
Навчальні шляхи
Базовий трек
- Ряди Фур'є
- Аналізатор спектра FFT
- RC-фільтр (аналоговий)
- Конструктор цифрових фільтрів
Трек зв'язку
- AM і FM модуляція
- OFDM
- Резонанс RLC
- Ефект Допплера