Девлог #92 – Хвиля 71: PageRank, турнір Аксельрода, фігура Ліхтенберга, ПІД-регулятор, принцип Архімеда та мікротріщини

Нові симуляції

PageRank: математика, що стоїть за пошуком в інтернеті

PageRank моделює випадкового відвідувача вебу: з імовірністю d (коефіцієнт затухання, зазвичай 0,85) він переходить за випадковим гіперпосиланням із поточної сторінки; з імовірністю 1−d — телепортується на будь-яку сторінку рівноймовірно. Ранг кожної сторінки — це її стаціонарна ймовірність у цьому марковському ланцюзі.

Формула степеневої ітерації

Рівняння оновлення на кожній ітерації має вигляд: p = (1−d)/N + d · (dangling/N + A^T · p / out_degree). Доданок для тупикових вершин (сума p_i для сторінок без вихідних посилань, розподілена рівномірно) є критично важливим — без нього ранг «витікає» з вершин-стоків, і вектор більше не сумується в 1. Симуляція показує логарифмічну L1-збіжність ||p_new − p_old||₁ на додатковому графіку, яка зазвичай досягає точності машинного округлення за 50–100 ітерацій.

Готові графи

• Підручниковий: невеликий граф із 6 вузлів із чіткою ієрархією
• Ранговий стік: вузол без вихідних ребер — демонструє, чому потрібне виправлення для тупикових вершин
• Brin-Page: граф з оригінальної статті про PageRank 1998 року
• Зірка: хаб і спиці — показує, як структура посилань концентрує ранг

Турнір Аксельрода: співпраця в умовах конкуренції

Комп'ютерний турнір Роберта Аксельрода 1984 року ставив питання: яка стратегія перемагає в повторюваній дилемі в'язня? Дивна відповідь: «Тіт-фор-тет» (Tit-for-Tat) — доброзичлива, помстлива, вибачлива й прозора стратегія. Але за наявності реалістичного шуму (випадкових зрад) картина стає багатшою.

Десять стратегій

Турнір включає 10 канонічних стратегій: AllCooperate (завжди C), AllDefect (завжди D), Tit-for-Tat (повторює останній хід суперника), Tit-for-Two-Tats (зраджує лише після двох послідовних зрад), Великодушний TFT (іноді вибачає зраду з імовірністю p), Grim Trigger (співпрацює, поки не зрадять, потім зраджує назавжди), Pavlov (win-stay, lose-shift), Random (50/50), Joss (TFT із прихованою 10%-вою зрадою) та Friedman (варіант TFT). Круговий турнір із самогрою дає повну матрицю попарних результатів.

Шум і перевага великодушності

За параметра шуму ε > 0 (кожен запланований хід перевертається з імовірністю ε) TFT потрапляє в «війну відлунь» — одна випадкова зрада спричиняє взаємну помсту, яка ніколи не вирішується. Великодушний TFT додає вибачення: з імовірністю g ≈ 1 − 3P/(T+R+P) він співпрацює навіть після зради. За наявності шуму Великодушний TFT накопичує значно більший виграш, ніж строгий TFT — кількісна демонстрація того, що вибачення стратегічно оптимальне.

• Матриця виграшів T/R/P/S налаштовується (за замовчуванням: 5/3/1/0)
• Інспектор матчів: клацніть будь-яку клітинку матриці пар, щоб переглянути цей матч хід за ходом
• Повзунок шуму від 0 до 0,1
• Стовпчикова діаграма загального рахунку оновлюється в реальному часі

Фігура Ліхтенберга: модель діелектричного пробою

Фігури Ліхтенберга — це фрактальні розрядні візерунки, що утворюються, коли високовольтна електрика проходить крізь ізоляційний матеріал. Модель діелектричного пробою (Німайєр, П'єтронеро, Візманн, 1984) відтворює їх виникнення простим імовірнісним правилом росту на полі потенціалу, розв'язаному рівнянням Лапласа.

Розв'язувач Лапласа SOR і правило росту

Електричний потенціал φ задовольняє рівняння Лапласа ∇²φ = 0 із фіксованими межовими умовами (електрод при φ=1, земля при φ=0). Розв'язувач методом послідовної верхньої релаксації з ω=1.8 збігається приблизно у 10 разів швидше, ніж метод Гаусса-Зейделя. На кожному кроці всі порожні клітинки, суміжні з кластером, що росте, є кандидатами на ріст. Кожен кандидат «спрацьовує» з імовірністю, пропорційною φ^η — локальному потенціалу в степені η.

Параметр η: від DLA до Ліхтенберга

η безперервно керує морфологією. При η=0 усі точки периметра рівноймовірні — це відтворює обмежену дифузією агрегацію (DLA), що дає розгалужений фрактал розмірністю ≈ 1,71. Зі зростанням η точки з вищим потенціалом (ближче до електрода) експоненційно фаворизуються, що дає вузьке голчасте розгалуження, характерне для справжніх фігур Ліхтенберга при η ≈ 3. Фрактальна розмірність методом підрахунку кубів вимірюється на кластері в реальному часі.

• Три режими межових умов: точковий електрод у центрі, паралельні пластини зверху донизу, кільцевий електрод
• Адитивний рендеринг світіння: яскраві кінчики, згасаючі гілки
• Повзунок η від 0 до 4 з живою зміною морфології
• Експорт кластера у PNG

ПІД-регулятор: інженерія зворотного зв'язку

ПІД-регулятор (пропорційно-інтегрально-диференціальний) — це робочий кінь промислового керування: за оцінками, близько 95% усіх регуляторів зворотного зв'язку, що використовуються сьогодні, — це ПІД або ПІ-варіанти. Попри свою простоту, гарне налаштування вимагає розуміння динаміки об'єкта керування.

Три моделі об'єкта

• Тепловий: запізнення першого порядку τẏ + y = u — керування температурою кімнати чи печі
• Візок (пружина-демпфер): другий порядок mẍ + cẋ + kx = u — керування положенням системи маса-пружина
• Резервуар: нелінійний dh/dt ∝ √h — керування рівнем рідини з квадратно-кореневою витратою

Захист від насичення й Зіглер-Нікольс

Коли вихід насичується, інтегральний доданок може накопичуватися необмежено (windup), спричиняючи великі перерегулювання після завершення насичення. Симуляція реалізує умовне інтегрування: інтеграл накопичується лише тоді, коли вихід не насичений. Автоналаштування Зіглера-Нікольса знаходить граничне підсилення K_u, збільшуючи K_p до появи стійких коливань, а потім встановлює K_p = 0.6K_u, K_i = 1.2K_u/T_u, K_d = 0.075K_u·T_u — надійну відправну точку для подальшого ручного налаштування.

• 20-секундний осцилограф: уставка, вихід, похибка та сигнал керування
• Панель метрик: час наростання, перерегулювання у %, час встановлення, статична похибка
• Кнопка автоналаштування Зіглера-Нікольса в один клік
• Ступінчастий, лінійний і синусоїдний профілі уставки

Принцип Архімеда: точний розрахунок плавучості

Принцип Архімеда стверджує F_вит = ρ_рідини · g · V_пот. Цікавий виклик — обчислити V_пот точно для нетривіальних форм, і симуляція робить це аналітично, а не через воксельне наближення.

Точні формули зануреного об'єму

• Куб: формула обрізаного ящика — V_пот = A · min(h, h_об'єкта), де h — глибина занурення
• Сфера: формула сферичного сегмента — V_сегм = πh²(3r−h)/3 для глибини занурення h ≤ r, дзеркально для часткового занурення верхньої частини
• Корпус судна: поперечний переріз з 5 вершин, інтегрований методом Сімпсона вздовж довжини

Метацентрична остійність судна

Плавуче тіло стійке, якщо його метацентр M розташований вище центру ваги G. Коли судно кренується на кут θ, відновлювальний момент дорівнює M_відновл = ρgV·GM·sinθ. Якщо GM < 0 (метацентр нижче центру ваги), відновлювальний момент стає дестабілізуючим, і судно перекидається. Симуляція показує обчислення висоти метацентра з другого моменту площі ватерлінії I_вл / V_пот та анімує перекидання, коли критерій остійності порушується.

• 5 рідин: прісна вода, морська вода, ртуть, олія, рідкий азот
• 9 матеріалів: сталь, алюміній, дерево, лід, пінополістирол, бетон, гума, скло, золото
• 4 налаштування гравітації: Земля, Місяць, Марс, Юпітер
• Пружинні терези показують уявну вагу = справжня вага − виштовхувальна сила

Мікротріщини: втомне зростання тріщин за законом Періса

Більшість руйнувань конструкцій трапляються не тому, що прикладене навантаження перевищило статичну міцність, — вони трапляються тому, що крихітна тріщина росла, цикл за циклом, поки не досягла критичного розміру. Закон Періса й Ердогана 1963 року описує цей процес кількісно.

Закон Періса та коефіцієнт інтенсивності напружень

Швидкість росту тріщини за цикл навантаження — da/dN = C(ΔK)^m, де a — довжина тріщини, N — кількість циклів, а ΔK — розмах коефіцієнта інтенсивності напружень ΔK = Y · Δσ · √(πa). Y — геометричний фактор (≈1 для центральної тріщини в нескінченній пластині), Δσ — розмах напружень. C і m — матеріальні константи, що відрізняються на порядки між різними матеріалами.

Чотири матеріали й катастрофічне руйнування

Симуляція показує логарифмічний графік a-N для чотирьох інженерних матеріалів: сталь A36 (в'язка, повільне зростання тріщини), алюміній 7075 (використовується в авіації, швидше зростання), титановий сплав Ti-6Al-4V (аерокосмічний сплав із чудовою тріщиностійкістю) і чавун (крихкий, швидке поширення). Коли K_max = Y · σ_max · √(πa) досягає тріщиностійкості K_IC, симуляція запускає анімацію катастрофічного руйнування зі спалахом екрана та розгалуженням тріщини — це кінець втомного ресурсу.

• Адаптивний підкрок: менші кроки da поблизу K_IC для точнішого прогнозу залишкового ресурсу
• Логарифмічний графік a-N із виділеним режимом Періса
• Анімація розкриття берегів тріщини
• Початковий розмір тріщини, розмах напружень і геометричний фактор налаштовуються

Далі буде

Хвиля 72 принесе повноцінний 4D-фільтр Калмана з візуалізацією еліпса коваріації, ручне зворотне поширення похибки через MLP з анімацією потоку градієнта, 3D-маятник з обмеженнями через множники Лагранжа, модель евтрофікації з пов'язаними ОДР і петлею гістерезису, FDTD-симуляцію акустичних хвиль із чотирма типами лінз та кільця Кеплера з формуванням резонансного розриву Кассіні.