Девлог №81 – Хвиля 61: ансамбль подвійних маятників, в'язкопружна рідина та візуалізатор DFT/STFT

Нові симуляції

⚖️ Ансамбль подвійних маятників — кількісна оцінка ефекту метелика

Навіщо ансамбль?

Одна симуляція подвійного маятника візуально демонструє хаос — непередбачуваний рух — але нічого не говорить про те, наскільки швидко розходяться сусідні траєкторії. Ансамбль із N=30 маятників, усі з яких починають з однакового кута, окрім невеликого зсуву Δθ у θ₁, робить цю швидкість розбіжності вимірюваною. Це числовий еквівалент метелика Лоренца: змініть початковий стан на 10⁻⁶ рад, і дві траєкторії стануть повністю некорельованими приблизно через 15 секунд.

Рівняння Лагранжа (m₁=m₂=l₁=l₂=1, g=9.81)

denom = 3 - cos(2θ₁ - 2θ₂)

θ₁'' = [ -3g·sinθ₁ - g·sin(θ₁-2θ₂) - 2sin(θ₁-θ₂)·(θ₂'² + θ₁'²cos(θ₁-θ₂)) ] / denom

θ₂'' = [ 2sin(θ₁-θ₂)·(2θ₁'² + 2g·cosθ₁ + θ₂'²cos(θ₁-θ₂)) ] / denom

Кожен член ансамблю інтегрується незалежно методом RK4 з кроком Δt = 0.005 с. Опорний член (k=0) використовує точно θ₁ = θ₁₀. Член k використовує θ₁₀ + k·Δθ. Розкид ансамблю Δθ₁(t) = max|θ₁(k,t) − θ₁(0,t)| відстежується кожен кадр.

Оцінка показника Ляпунова

Для хаотичної системи середня швидкість зростання нескінченно малих відхилень становить δ(t) ~ δ(0) · e^λt, тому log δ зростає лінійно з нахилом λ (біт/с при використанні log₂, нат/с для ln). Симуляція накопичує log₁₀|Δθ|_max з часом, а потім підганяє лінійну регресію через середні 75% історії (відкидаючи початковий перехідний процес і плато насичення). Нахил × log₂(10) дає λ у біт/с. Додатне λ підтверджує хаос; для регулярних початкових умов воно наближається до нуля.

Кольорове кодування та статистика

• Віяло ансамблю — кожен член малюється кольором з hsl(270°…60°), поступово зміщуючись від фіолетового (опорний) до жовтого (найбільш зміщений). Ширина віяла — це прямий візуальний показник розбіжності.
• Кількість когерентних — підраховуються члени, чиє |Δθ₁| нижче 0.1 рад; коли це значення падає до 1, система входить у повністю хаотичний режим.
• Мітка режиму — Когерентний (усі перекриваються), Розбіжний (віяло розширюється), Хаотичний (насичена розбіжність).
• Пресети — малий розкид (Δθ = 10⁻⁴), великий розкид (Δθ = 0.2), кути перетину (θ₂ = 2.5), надтонкий (Δθ = 10⁻⁷).

💧 В'язкопружна рідина — реологія полімерних матеріалів

В'язкопружність: середина між крайнощами

Більшість реальних матеріалів не є ні суто пружними (пружини, що пам'ятають свою форму), ні суто в'язкими (рідини, що забувають її). Полімери, гідрогелі, біологічні тканини, іграшкова замазка та фарба — усі демонструють в'язкопружну поведінку: вони реагують пружно на швидкі деформації (високе число Деборá) і в'язко на повільні (низьке число Деборá). Число Деборá De = τ_R/t_obs є ключовим безрозмірним відношенням, де τ_R = η/G₀ — час релаксації Максвелла.

Три моделі та їхні рівняння

Усі три моделі описують елемент матеріалу, що зазнає напруги σ і деформації ε:

• Модель Максвелла (пружина + демпфер послідовно): напруга релаксує експоненційно при сталій деформації. G(t) = G₀ · e^−t/τᴿ. Чисто в'язка поведінка при великих часах: межі повзучості немає — деформація зростає необмежено. G′(ω) = G₀(ωτ)²/[1+(ωτ)²], G″(ω) = G₀ωτ/[1+(ωτ)²].
• Модель Кельвіна-Фойгта (пружина + демпфер паралельно): релаксації напруги немає, але повзучість насичується. J(t) = (1 − e^−t/τᴿ) / G₀. Чисто пружна поведінка на високих частотах: G′(ω) = G₀, G″(ω) = ηω.
• Стандартне лінійне тіло (SLS / модель Зенера): додає третій елемент (пружина паралельно з плечем Максвелла). Поєднує обмежену повзучість і належну релаксацію напруги. G(t) = G₀[α + (1−α)e^−t/τᴿ], де α — відношення рівноважного модуля. Найточніша модель для полімерів і біологічних тканин.

Симуляція частинок

Ліве полотно показує сітку 10×10 мас-точок, з'єднаних пружинами Максвелла (пружина G₀ послідовно з демпфером η). Кожен зв'язок відстежує своє внутрішнє в'язке подовження L_v:

F = G₀_bond × (L − L₀ − Lv)       // spring force
dLv/dt = F / η_bond                 // dashpot relaxation (τR = η/G₀)
overdamped: ζ × v = ΣF_springs      // no inertia; instantaneous velocity

Коли ви тягнете частинку, сусідні зв'язки розтягуються (синій → червоний за величиною напруги), а потім повільно повертаються назад після відпускання. Загальна поведінка краплі — максвеллівська: чим швидше ви її деформуєте, тим жорсткішою вона відчувається.

🎵 Візуалізатор DFT та STFT — від синусоїд до спектрограм

Дискретне перетворення Фур'є

Маючи N часових вибірок x[n], DFT обчислює N комплексних коефіцієнтів:

X[k] = Σₙ x[n] · w[n] · e^{−j2πkn/N}    k = 0, 1, …, N/2

де w[n] — віконна функція. |X[k]| — це амплітуда k-го частотного біну з частотою f_k = k · f_s/N Гц. Візуалізатор обчислює це безпосередньо (O(N²)) для N ≤ 1024 при 60 кадр/с — достатньо швидко для відображення в реальному часі.

Віконні функції та спектральне просочування

Нецілі кількості циклів у вікні DFT спричиняють "просочування" енергії з гострих спектральних піків у сусідні біни. Вибір вікна — це компроміс між шириною головної пелюстки (частотна роздільність) і рівнем бічних пелюсток (просочування):

• Прямокутне — найвища роздільність, найгірше просочування (−13 дБ перша бічна пелюстка). Найкраще, коли сигнал ідеально заповнює вікно.
• Ганна — w[n] = 0.5(1 − cos(2πn/N)). Перша бічна пелюстка при −31 дБ. Стандартний вибір для аудіо.
• Хеммінга — w[n] = 0.54 − 0.46cos(2πn/N). Перша бічна пелюстка при −41 дБ, але ненульові кінцеві точки → незначна розривність.
• Блекмана — сума трьох косинусних членів, перша бічна пелюстка при −57 дБ. Найширша головна пелюстка; найкраще для виявлення слабких тонів поруч із сильними.

Спектрограма STFT

Короткочасне перетворення Фур'є застосовує DFT до послідовних перекривних кадрів: крок = N − overlap вибірок. Результат — це 2D матриця: стовпці — часові кадри, рядки — частотні біни. Симуляція підтримує кільцевий буфер із 460 стовпців (що відповідає ширині полотна), забарвлений палітрою в стилі viridis, що відображає значення DB (−80…0) від темно-синього → до блакитного → до жовтого.

Спробуйте пресет чирп (частота розгортається від 100 до 800 Гц протягом 1 секунди) і спостерігайте, як діагональний жовтий гребінь рухається вгору на спектрограмі. Потім перейдіть до багатотонального пресету й побачте три горизонтальні лінії, що відповідають основній частоті та гармонікам. Зміна типу вікна під час перегляду чистої синусоїди з прямокутним вікном яскраво демонструє спектральне просочування: частотні бічні смуги з'являються та зникають при перемиканні між вікнами.

Типи сигналів

• Синусоїда — одна частота; один пік у DFT. Ідеально для демонстрації просочування вікна.
• Прямокутний — ряд Фур'є 4/π Σ sin((2k−1)2πft)/(2k−1); непарні гармоніки видно як спадаючі піки.
• Пилкоподібний — усі гармоніки з амплітудою 1/k; багатший гармонічний склад, ніж у прямокутної хвилі.
• Чирп — лінійна частотна розгортка від f₀ до 8f₀ за секунду; діагональна смуга на спектрограмі.
• AM-сигнал — амплітудна модуляція: (1 + 0.8sin(2πf_mt))cos(2πf_ct); видно дві бічні смуги навколо несучої.
• Білий шум — плаский спектр; усі частотні біни мають однакову (випадкову) амплітуду.
• Багатотональний — основна частота f₀ плюс гармоніки на 3f₀, 5f₀, 7f₀ зі спадною амплітудою.

Що далі

Хвиля 62 продовжить розширення бібліотеки. Серед кандидатів, що розглядаються — симуляції гідродинаміки, візуалізації статистичної механіки та додаткові інтерактивні фізичні демонстрації. Слідкуйте за оновленнями.