Девлог №80 – Хвиля 60: осцилятор Дуффінга, мережева наука та дифузія Тюрінга

Нові симуляції

🌀 Осцилятор Дуффінга — класичний хаос із кубічною пружиною

Рівняння

Георг Дуффінг (1918) представив один із перших навмисно досліджених нелінійних осциляторів для моделювання пружин, що зміцнюються, у машинобудуванні. Керована версія має вигляд:

ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ cos(ωt)

Кубічний член βx³ — ключова нелінійність: для β > 0 (зміцнення) ефективна жорсткість зростає з амплітудою; для β < 0 вона зменшується. Керуюча сила γcos(ωt) безперервно вносить енергію, яку розсіює демпфування δẋ. Коли керування та демпфування збалансовані в нелінійному режимі, може виникнути хаотичний рух.

Фазовий портрет та перерізи Пуанкаре

Симуляція запускає інтегратор RK4 з Δt = 0.005 та рендерить дві візуалізації одночасно:

• Фазовий портрет (зліва) — положення x проти швидкості ẋ із затухаючим слідом на 3 000 точок. Періодичні орбіти виглядають як замкнені петлі; хаотичний рух заповнює фрактальну область фазового простору.
• Переріз Пуанкаре (червоні точки) — стан (x, ẋ) вибирається щоразу, коли ωt mod 2π проходить через нуль, тобто раз за період примусової сили T = 2π/ω. Для орбіти періоду 1 з'являється одна точка; для періоду n — n окремих точок; для хаосу — фрактальна хмара.
• Часовий ряд (праворуч) — x(t) показує, чи є рух періодичним, квазіперіодичним, чи аперіодичним.

Режими пресетів

• Хаос (α=−1, β=1, δ=0.3, γ=0.5, ω=1.0) — класичний хаотичний осцилятор Дуффінга з подвійною ямою, щільним фрактальним перерізом Пуанкаре та додатним показником Ляпунова.
• Період-2 (γ=0.28, ω=1.2) — субгармонічний резонанс: дві точки Пуанкаре, період x(t) = 2T.
• Подвійна яма (δ=0.5, γ=0.1) — низьке керування; траєкторія осідає в одній потенційній ямі, показуючи стабільний граничний цикл.
• Резонанс (α=1, β=0.1, δ=0.1) — пружина з одинарною ямою та зміцненням поблизу резонансу; періодична орбіта великої амплітуди.
• Затухання (α=1, β=0.5, δ=0.8) — високе демпфування; x(t) згасає до нуля, підтверджуючи стабільність x=0.

Детектор режиму

Значення x з останніх 100 перетинів Пуанкаре накопичуються. Дисперсія цього буфера класифікує рух: дисперсія > 0.05 → Хаотичний; дисперсія > 0.01 → Період-2+; інакше Періодичний. Малі вибірки роблять цю евристику недосконалою, але вона надійно стабілізується протягом кількох сотень періодів.

🌐 Мережева наука — три моделі структури графа

Чому важлива топологія мережі

Структура мережі — які вузли з якими з'єднані — визначає, як інформація, хвороба, вплив чи збій поширюються через неї. Три моделі охоплюють принципово різні структурні режими:

• Ердеш–Реньї G(N,p) — кожна пара з N вузлів з'єднується незалежно з імовірністю p. Розподіл ступенів наближено пуассонівський. Вище порогу гігантської компоненти p_c = 1/N раптово з'являється єдина велика зв'язна компонента — фазовий перехід перколяції.
• Барабаші–Альберт — вузли додаються по одному; кожен новий вузол приєднує m ребер переважно до вузлів із вищим ступенем ("багаті багатіють"). Генерує степеневий розподіл ступенів P(k) ~ k^−3, що відповідає Інтернету, мережам цитувань та соціальним графам.
• Уоттс–Строгац — почніть із регулярної кільцевої решітки (кожен вузол з'єднаний з k найближчими сусідами), потім перезʼєднайте кожне ребро з імовірністю β. Низьке β: висока кластеризація, велика довжина шляху (регулярна). Високе β: низька кластеризація, мала довжина шляху (випадкова). Проміжне β: висока кластеризація, мала довжина шляху — режим "малого світу", що відповідає нейронним мережам та енергосистемам.

Розташування із силовим спрямуванням

Позиції вузлів обчислюються легким алгоритмом у стилі Фрюхтермана-Рейнгольда, що виконується на кожному кадрі анімації: сила відштовхування ∝ 1/d² розштовхує всі пари вузлів; пружинне притягання ∝ (d − 60) зближує з'єднані вузли; слабка сила тяжіння до центру ∝ 0.003 утримує граф на екрані. Демпфування 0.88 стабілізує розташування. Вузли можна перетягувати для фіксації позицій; при відпусканні фізика відновлюється.

Панель статистики

Обчислюється після кожної перебудови графа: кількість вузлів, кількість ребер, середній ступінь ⟨k⟩, глобальний коефіцієнт кластеризації C, частка гігантської компоненти та максимальний ступінь (розмір хабу для мереж BA). Гістограма розподілу ступенів на правій панелі використовує логарифмічну вісь y для виявлення степеневого хвоста в режимі BA.

🔬 Дифузія Тюрінга — як Алан Тюрінг пояснив біологічні візерунки

Стаття 1952 року

У праці "Хімічні основи морфогенезу" (Philosophical Transactions of the Royal Society B, 1952), Алан Тюрінг математично показав, що однорідна суміш двох реагуючих хімічних речовин — однієї (активатора), яка посилює власне виробництво, і другої (інгібітора), яка пригнічує активатор і дифундує швидше — може самовільно порушити просторову симетрію та утворити стабільні періодичні візерунки. Ця нестійкість Тюрінга нині вважається провідним теоретичним поясненням візерунків забарвлення тварин, розташування пальців у ембріональному розвитку кінцівок та розташування волосяних фолікулів.

Рівняння моделі Ґрея-Скотта

Симуляція реалізує варіант Ґрея-Скотта, який чітко відображає динаміку активатор-інгібітор:

∂U/∂t = Dᵤ ∇²U  −  UV²  +  F(1 − U)
∂V/∂t = Dᵥ ∇²V  +  UV²  −  (F + k)V

U — це інгібітор (подається ззовні зі швидкістю F, споживається реакцією UV²); V — активатор (споживається зі швидкістю k+F, виробляється автокаталітично через UV²). Лапласіан ∇² дискретизується на періодичній сітці 256×256 із 5-точковим шаблоном. Крок методом Ейлера вперед із Δt = 1.0 стабільний для використовуваних значень коефіцієнтів дифузії.

Простір параметрів (F, k)

Невеликі відмінності у швидкості подачі F та швидкості знищення k створюють якісно різні стаціонарні візерунки:

• Плями (F=0.055, k=0.062) — ізольовані плями високої активності V на фоні низького V. Нагадує плями тварин та візерунки шкіри леопарда.
• Смуги (F=0.060, k=0.058) — паралельні смугасті домени. Близько до параметрів смуг зебри та маркувань риб.
• Лабіринт (F=0.029, k=0.057) — з'єднані лабіринтоподібні канали. Поширене в пігментації морських черепашок.
• Корал (F=0.037, k=0.060) — зубчасті, деревоподібні структури, що нагадують коралові поліпи.
• Мітоз (F=0.028, k=0.053) — плями, які самовідтворюються шляхом поділу, імітуючи поділ клітини.

Клацніть будь-де на полотні, щоб ввести зерно високої концентрації V. Зерно запускає ріст візерунка з цього місця — корисно для спостереження за фронтами вторгнення візерунка.

Колірні карти та виявлення візерунків

Чотири колірні карти рендерять поле V: Alien (зелено-бірюзово-чорна, підкреслює деталі середнього діапазону), Heat (чорний→червоний→жовтий), Mint (від темного до яскраво-зеленого), та Monochrome (відтінки сірого для публікаційного виводу). Класифікатор типу візерунка обчислює середнє V і використовує евристики (F,k) для позначення поточного режиму.

Погляд у майбутнє

Кандидати хвилі 61 з черги включають динаміку в'язкопружних рідин, дослідник правил клітинних автоматів, інтерактивний ансамбль подвійного маятника, що показує виникнення хаосу при різних початкових умовах, та інструменти обробки сигналів (візуалізатор DFT / STFT). Ми також плануємо функцію колекцій/закладок, щоб відвідувачі могли впорядковувати та ділитися наборами симуляцій.