Девлог #16 — Створення конструктора мостів: МСЕ в браузері…

Що таке метод скінченних елементів?

МСЕ розбиває суцільну конструкцію на прості елементи. Для 2D-ферми (тип, що використовується в мостах) кожен елемент — це стрижень, який може сприймати лише осьове навантаження — розтягування чи стискання. Аналіз визначає, наскільки деформується кожен стрижень під зовнішнім навантаженням, а потім обчислює внутрішнє напруження.

Для ферми з $n$ вузлами система рівнянь має вигляд: $\mathbf{K} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{f}$, де $\mathbf{K}$ — глобальна матриця жорсткості ($2n \times 2n$), $\mathbf{u}$ — вектор переміщень, а $\mathbf{f}$ — вектор прикладених сил.

Крок 1: Побудова матриці жорсткості елемента

Кожен стрижень ферми додає локальну матрицю жорсткості 4×4. Вона залежить від кута орієнтації стрижня $\theta$, площі його поперечного перерізу $A$, модуля Юнга $E$ та довжини $L$:

          function
          elementStiffness(nodeA, nodeB, E, A) {
          const dx = nodeB.x - nodeA.x;
          const dy = nodeB.y - nodeA.y;
          const L = Math.hypot(dx, dy); const c = dx / L;
          // cos θ const s = dy
          / L; // sin θ const k
          = E * A / L;

          // Локальна матриця 4×4 [ux_i, uy_i, ux_j, uy_j]
          return [ [ c*c, c*s, -c*c, -c*s], [ c*s, s*s,
          -c*s, -s*s], [-c*c, -c*s, c*c, c*s], [-c*s, -s*s, c*s, s*s], ].map(row
          => row.map(v => v * k)); }
        

Крок 2: Складання глобальної матриці жорсткості

Матриця 4×4 кожного елемента "штампується" у відповідні позиції глобальної матриці розміром $2n \times 2n$. Вузол $i$ займає ступені вільності $[2i, 2i+1]$ (x та y):

          function
          assembleK(nodes, elements, E, A) {
          const n = nodes.length;
          const dof = n * 2;
          const K = Array.from({
          length: dof }, () => new
          Float64Array(dof));

          for (const el
          of elements) {
          const ke =
          elementStiffness(nodes[el.i], nodes[el.j], E,
          A); const idx = [el.i*2, el.i*2+1,
          el.j*2, el.j*2+1];

          for (let r =
          0; r < 4; r++)
          for (let c =
          0; c < 4; c++)
          K[idx[r]][idx[c]] += ke[r][c]; } return K; }
        

Крок 3: Застосування граничних умов

Закріплені вузли (опори) мають відоме переміщення (нульове). Ми закладаємо це, обнуляючи рядок і стовпець для кожного закріпленого ступеня вільності та встановлюючи діагональ у 1:

          for (const dof
          of fixedDofs) {
          for (let i =
          0; i < K.length; i++) { K[dof][i] =
          0; K[i][dof] = 0; }
          K[dof][dof] = 1; f[dof] =
          0;
          // немає переміщення на опорі
          }
        

Крок 4: Розв'язувач методом Гаусса

Із застосованими граничними умовами розв'язуємо $\mathbf{K} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{f}$ методом Гаусса з частковим вибором провідного елемента. Для типового моста (50 вузлів) це виконується менш ніж за 1 мс у JavaScript:

          function
          gaussianElimination(A, b) {
          const n = b.length;
          // Пряме виключення з частковим вибором провідного елемента
          for (let col =
          0; col < n; col++) {
          // Знаходимо рядок з максимальним абсолютним значенням у цьому стовпці
          let maxRow = col;
          for (let r = col+1; r < n; r++) if (Math.abs(A[r][col]) > Math.abs(A[maxRow][col]))
          maxRow = r; [A[col], A[maxRow]] = [A[maxRow], A[col]]; [b[col],
          b[maxRow]] = [b[maxRow], b[col]];

          for (let r = col+1; r < n; r++) { const factor = A[r][col] /
          A[col][col]; b[r] -= factor * b[col];
          for (let c = col; c <
          n; c++) A[r][c] -= factor * A[col][c]; } }
          // Зворотна підстановка
          const x = new
          Float64Array(n);
          for (let i = n-1; i >= 0; i--) { x[i] = b[i];
          for (let j = i+1; j < n; j++) x[i] -= A[i][j] * x[j]; x[i] /= A[i][i]; }
          return x; }
        

Крок 5: Обчислення напруження в елементах

Знаючи переміщення $\mathbf{u}$, осьову деформацію кожного стрижня обчислюємо як: $\varepsilon = (du_x \cdot \cos\theta + du_y \cdot \sin\theta) / L$, а напруження — як $\sigma = E \cdot \varepsilon$. Додатне значення = розтягування (стрижень витягується), від'ємне = стискання.

          function
          memberStress(el, nodes, u, E) {
          const { i, j } = el;
          const dx = nodes[j].x - nodes[i].x;
          const dy = nodes[j].y - nodes[i].y;
          const L = Math.hypot(dx, dy); const c = dx / L, s = dy / L;
          const du = (u[j*2] -
          u[i*2]) * c + (u[j*2+1] - u[i*2+1]) * s; return E * du / L;
          // σ = E·ε
          }
        

Крок 6: Кольорове кодування напружень у Three.js

Значення напруження кожного стрижня перетворюється на колір: синій (максимальне стискання) → білий (нульове навантаження) → червоний (максимальне розтягування).

−

СтисканняНульРозтягування

          function
          stressToColor(sigma, maxSigma) {
          const t = clamp(sigma
          / maxSigma, -1, 1);
          if (t < 0)
          return
          new THREE.Color().lerpColors(white, blue, -t);
          else
          return
          new THREE.Color().lerpColors(white, red, t); }
        

Візуалізація деформації (масштаб 50×)

Реальні прогини сталевих мостів під навантаженням вимірюються міліметрами — вони непомітні у звичайному масштабі. Ми застосовуємо настроюваний коефіцієнт посилення (за замовчуванням 50×) до переміщень вузлів, щоб деформація була видимою без спотворення геометрії. Стрижень залишається з'єднаним з (масштабованими) зміщеними вузлами:

          const DEFORM_SCALE =
          50; nodes.forEach((node, i) => { node.displayX = node.x + u[i*2] * DEFORM_SCALE; node.displayY = node.y + u[i*2+1] * DEFORM_SCALE; });
        

Готові типи мостів (пресети)

Ферма Уоррена

Діагональні елементи, що чергуються, під кутом 60°. Ефективне використання матеріалу, рівномірний розподіл напружень.

Найрівномірніший розподіл напружень

Ферма Пратта

Вертикальні елементи працюють на стискання, діагональні — на розтягування. Перевага для великих прольотів.

Чудово для великих навантажень у центрі

Ферма Гау

Протилежність фермі Пратта — діагоналі працюють на стискання. Менш ефективна для сталі, але підходить для дерева.

Класична форма XIX століття

Примітка щодо точності: Наша реалізація обробляє лише 2D-елементи ферми. Реальні мости потребують 3D-балкових елементів (Ейлера-Бернуллі) для врахування згинальних моментів. Для навчальної мети — демонстрації складання матриці жорсткості та розв'язання МСЕ — 2D-аналіз ферми є точним і швидким у браузері.

Спробуйте зараз

Відкрийте Конструктор мостів, оберіть пресет, прикладіть навантаження в різних вузлах і спостерігайте, як кольорове кодування напружень і деформація оновлюються в реальному часі. Панель коефіцієнта запасу міцності стає червоною, коли будь-який елемент перевищує межу текучості.