У січні 2020 року епідеміологи вже моделювали поширення COVID-19 за допомогою диференціальних рівнянь, розроблених понад століття тому. Модель SIR — уперше сформульована Кермаком і Мак-Кендриком 1927 року — майже сто років пролежала в математичній літературі, перш ніж стала найактуальнішим фрагментом прикладної математики на планеті. Як жменька рівнянь передбачила мільйони результатів — і де вона схибила?
Від SIR до SEIR: побудова моделі
Модель SIR поділяє популяцію на три відсіки, крізь які послідовно проходять індивіди: Сприйнятливі (ще не інфіковані), Інфіковані (наразі заразні) та Одужалі (імунні). Потоком керують три пов'язані звичайні диференціальні рівняння:
Де N — загальна чисельність населення, β — швидкість передачі (контакти на день × ймовірність передачі за контакт), а γ — швидкість одужання (1/тривалість заразного періоду). Модель зберігає чисельність популяції: S + I + R = N у будь-який момент часу.
SEIR розширює модель, додаючи відсік Експонованих — людей, які вже інфіковані, але ще не заразні. Це відображає інкубаційний період, який для COVID-19 в середньому становив близько п'яти днів. Потік стає S → E → I → R, і ним керує четвертий параметр σ (швидкість, з якою експоновані особи стають заразними). Рівняння SEIR:
Потужність цієї моделі надзвичайна, зважаючи на її простоту. Маючи лише три чи чотири параметри — усі вимірювані за ранніми даними про випадки, — можна передбачити час піку, загальну кількість заражених та ефект від втручань. Рівняння розв'язуються чисельно за мілісекунди навіть для популяцій у мільйони людей.
R0: найважливіше число в епідеміології
З рівнянь SIR природно випливає критична величина — базове репродуктивне число R0 = β/γ. Воно являє собою середню кількість вторинних заражень, спричинених одним інфікованим у повністю сприйнятливій популяції. R0 — найважливіший поодинокий параметр у динаміці епідемій:
- R0 < 1: у середньому кожна інфікована людина заражає менше ніж одну іншу. Епідемія згасає.
- R0 = 1: епідемія перебуває в точці рівноваги — стабільна, не зростає й не спадає.
- R0 > 1: кожна інфікована людина заражає більш ніж одну іншу. Епідемія зростає експоненційно, доки не вичерпаються сприйнятливі особи.
З R0 безпосередньо випливає поріг колективного імунітету: H = 1 − 1/R0. Це частка населення, яка має набути імунітету (через перенесену хворобу або вакцинацію), перш ніж R0 опуститься нижче 1 і епідемія почне спадати. Порівняльні значення R0 для різних хвороб:
Для COVID-19 з R0 ≈ 2,5–3 поріг колективного імунітету становить приблизно 60–67%. Для кору з R0 ≈ 12–18 цей поріг сягає 92–94% — саме тому охоплення вакцинацією проти кору в школах має бути майже стовідсотковим, щоб запобігти спалахам. Математика тут не залишає простору для компромісів.
Сплощення кривої: як працюють заходи втручання
У межах SEIR заходи охорони громадського здоров'я мають точний математичний зміст. Зниження передачі — через маски, фізичне дистанціювання, вентиляцію, закриття шкіл — безпосередньо знижує β. Краще лікування скорочує заразний період і підвищує γ. Вакцинація переводить людей безпосередньо з S у R, минаючи відсіки E та I повністю.
«Сплощення кривої» — це графічний наслідок зниження β: пік кривої I(t) знижується і розтягується на довший період часу, тоді як загальна площа під кривою (сумарна кількість заражень) скорочується. Мета — утримати пік I нижче спроможності системи охорони здоров'я — горизонтальної лінії, що відповідає наявним ліжкам інтенсивної терапії, апаратам ШВЛ та персоналу.
Непрямі втручання та відкат назад: локдауни різко знижують β, пригнічуючи криву епідемії. Але вони не підвищують імунітет. Коли обмеження знімають і β повертається до вихідного рівня, сприйнятлива популяція стикається з другою хвилею — епідемія по суті відновлюється з того місця, де зупинилася. Саме це було центральною дилемою політики щодо COVID-19: пригнічувати передачу ціною накопичення імунітету.
Моделі іноді не збігалися з реальністю. Припущення SEIR про однорідне змішування — що будь-яка людина з однаковою ймовірністю контактує з будь-якою іншою — повністю руйнується, коли поширення визначають події суперпоширення. Одна репетиція хору чи один нічний клуб можуть породити сотні випадків; випадково обрана людина породжує близько нуля. Мережева епідеміологія, яка відстежує поширення хвороби вздовж реальних графів соціальних контактів, набагато краще відображає цю неоднорідність.
Поза межами SEIR: сучасне моделювання епідемій
SEIR — це робоча конячка, але сучасні моделі епідемій стали значно складнішими. SEIRD додає відсік Смертей. SEIQR моделює карантин. SEIRS моделює згасання імунітету, коли одужалі особи повертаються до пулу сприйнятливих — критично важливо для варіантів COVID, де імунітет слабшає протягом місяців. Вікові стратифіковані моделі застосовують різні значення β для різних вікових груп, відображаючи кардинально різні показники смертності від COVID між 20-річними та 80-річними.
Агентні моделі повністю відмовляються від диференціальних рівнянь, симулюючи окремих людей із персональними характеристиками — вік, рід занять, домогосподарство, мережа контактів. Кожен агент дотримується ймовірнісних правил щодо зараження, хвороби та одужання. Такі моделі здатні відображати динаміку суперпоширення, просторову неоднорідність та поведінкові реакції (люди скорочують контакти, коли почуваються хворими), які упускають відсікові моделі. Ціна цього — обчислювальна: запуск симуляції з мільйоном агентів вимагає серйозного апаратного забезпечення та ретельної валідації.
Найвпливовішою моделлю родини SEIR за час пандемії став Звіт №9 Імперського коледжу Лондона, опублікований Нілом Фергюсоном та колегами 16 березня 2020 року. Він оцінював 510 000 смертей у Великій Британії за сценарію непригніченої епідемії й вплинув на розворот британського уряду до політики локдауну протягом кількох днів. Хоч би якими були його обмеження — а критики ретельно їх виявили, — цей звіт продемонстрував, що математична епідеміологія перетворилася з академічної цікавинки на критично важливу для політики інфраструктуру.