Симулятор балістичного маятника, що демонструє класичний двоетапний метод вимірювання швидкості снаряда. Етап перший: куля масою m, що рухається зі швидкістю v, застрягає в нерухомому тілі маятника масою M внаслідок абсолютно нерпружного зіткнення, зберігаючи імпульс, m·v = (m+M)·V. Етап другий: об'єднана маса розгойдується вгору, зберігаючи механічну енергію, ½(m+M)V² = (m+M)gh, тож висоту розгойдування h (або максимальний кут) можна використати для обчислення за зворотним ходом початкової швидкості кулі, v = ((m+M)/m)·√(2gh). Симулятор також показує значну втрату кінетичної енергії під час самого зіткнення, що не суперечить загальному збереженню енергії.
Балістичний маятник вирішує проблему, що мучила артилеристів упродовж двох століть: як вимірити швидкість об'єкта, надто швидкого, щоб зафіксувати час на око? Хитрість полягає в тому, щоб розділити подію на два етапи, кожен із яких підпорядковується своєму закону збереження. На першому етапі куля масою m, що рухається зі швидкістю v, застрягає в нерухомому деревʼяному тілі маятника масою M у зіткненні, яке завершується за частку мілісекунди — надто швидко, щоб гравітація встигла виконати помітну роботу. Оскільки жодна зовнішня горизонтальна сила не діє в цю миттєвість, імпульс зберігається: m·v = (m+M)·V, де V — швидкість об'єднаної маси тіла й кулі безпосередньо після удару. Це зіткнення абсолютно нерпружне — куля залишається застряглою — тож кінетична енергія тут категорично не зберігається; значна її частка втрачається на деформацію, тепло та звук, коли куля заглиблюється в дерево.
На другому етапі енергія, що залишилася в об'єднаній масі, несе її вгору по дузі розгойдування маятника, і від миті одразу після удару й далі діють лише гравітація та натяг підвісу, а натяг не виконує роботи. Тепер зберігається механічна енергія: ½(m+M)V² = (m+M)gh, тож тіло піднімається на вимірювану висоту h, або, що те саме, на максимальний кут θmax = arccos(1 − h/L) для маятника довжиною L. Оскільки кожен крок можна обернути, вимірена висота розгойдування дозволяє відновити початкову швидкість кулі: v = ((m+M)/m)·√(2gh). Саме такий прилад побудував Бенджамін Робінс у 1742 році, за десятиліття до того, як з'явився хоч якийсь електронний спосіб вимірювати час польоту кулі — замінивши невимірювану швидкість на легко вимірюваний кут розгойдування, він перетворив внутрішню й зовнішню балістику на точну науку. Величезна втрата енергії під час зіткнення не порушує закону збереження енергії; це закон збереження енергії, який справно працює через межу системи, а "зникла" енергія повністю облікована як тепло та деформація, а не просто зникає.
Що насправді показує ця симуляція?
Вона показує анімацію кулі, яка влітає й застрягає в нерухомому тілі маятника, а потім розгойдується вгору по круговій дузі до максимального кута, перш ніж повернутися назад. Панель телеметрії показує імпульс безпосередньо до і після зіткнення (однаковий, що демонструє його збереження), кінетичну енергію до і після зіткнення (дуже різну, що показує втрату), а також висоту й кут розгойдування, що використовуються для обчислення за зворотним ходом початкової швидкості кулі.
Чому зіткнення втрачає стільки енергії, а імпульс усе одно зберігається?
Імпульс і кінетична енергія зберігаються за різних умов. Імпульс зберігається в будь-якому зіткненні за відсутності чистої зовнішньої горизонтальної сили, незалежно від того, як зіткнення деформує тіла. Кінетична енергія зберігається лише в абсолютно пружних зіткненнях. Куля, що застрягає в дереві, — класичний приклад абсолютно нерпружного зіткнення — тіла злипаються, — тож імпульс зберігається повністю, тоді як більша частина кінетичної енергії перетворюється на тепло, звук і незворотну деформацію.
Хто винайшов балістичний маятник і чому?
Англійський математик Бенджамін Робінс представив балістичний маятник у 1742 році, описавши його у книзі "Нові принципи артилерії" (New Principles of Gunnery). До появи електронних хронографів не існувало прямого способу вимірити час польоту мушкетної кулі, що рухається зі швидкістю кількасот метрів на секунду. Робінс зрозумів, що якщо передати імпульс кулі важкому, повільно рухомому маятнику, отриманий кут розгойдування — легко вимірюваний простою кутовою шкалою — можна використати для відновлення початкової швидкості кулі, перетворивши балістику з припущень на вимірювання.
Повзунок маси кулі (5–100 г) і повзунок швидкості кулі (50–500 м/с) задають параметри снаряда, що влітає. Повзунок маси тіла (0,5–5 кг) задає масу нерухомого маятника, у який відбувається удар, а повзунок довжини маятника (0,5–2 м) задає довжину підвісу чи стрижня. Кнопка "Вогонь" запускає двоетапну послідовність: зіткнення, а потім розгойдування.
Крок перший застосовує закон збереження імпульсу до миттєвого, абсолютно нерпружного зіткнення: m·v = (m+M)·V, звідки швидкість після зіткнення V = m·v/(m+M). Крок другий застосовує закон збереження механічної енергії до розгойдування, що настає далі: ½(m+M)V² = (m+M)gh, звідки висота підйому h = V²/(2g), яка переводиться в максимальний кут розгойдування через h = L(1 − cos θmax).
Зчитавши максимальну висоту (або кут), якої досягає тіло маятника, можна обернути обидва кроки. Спершу відновлюємо швидкість після зіткнення за висотою, V = √(2gh); потім обертаємо рівняння імпульсу, використовуючи співвідношення мас, v = ((m+M)/m)·V = ((m+M)/m)·√(2gh). Симулятор показує це значення "v вимірена" поряд із вашою заданою швидкістю, щоб можна було переконатися, що вони збігаються.
Під час розгойдування роботу виконують лише гравітація (консервативна сила) та натяг підвісу, який діє перпендикулярно до руху тіла й тому не виконує жодної роботи — тож механічна енергія зберігається протягом усього розгойдування. Під час самого зіткнення куля й тіло маятника діють одна на одну великими внутрішніми контактними силами, поки куля гальмується і деформує дерево; ці сили виконують чисту негативну роботу над сумарною кінетичною енергією пари, хоча й компенсують одна одну в сумі імпульсів, — саме тому енергія різко падає в цю одну миттєвість, але не пізніше.
Коли маса кулі m стає малою відносно маси тіла M, швидкість після зіткнення V ≈ (m/M)v стає дуже малою, а частка кінетичної енергії, що збереглася, KEпісля/KEдо ≈ m/M, стає зникомо малою. Саме тому реальні балістичні маятники використовують важкі тіла: важке тіло рухається зовсім небагато, але цей невеликий рух можна точно вимірити, а втрата понад 99% кінетичної енергії під час зіткнення — це очікуваний результат, а не недолік.
Основна фізика — збереження імпульсу під час зіткнення та збереження механічної енергії під час розгойдування — є точною і саме на неї спирається реальний балістичний маятник. Симуляція не враховує другорядні реальні ефекти, такі як опір повітря під час розгойдування, тертя в точці підвісу, кінцевий розмір і момент інерції тіла (тут воно розглядається як точкова маса), а також будь-яку енергію, випромінену у вигляді звуку — усе це вносить незначні поправки в реальному приладі, але не змінює суть двоетапного методу.