Нескінченний фрактал із взаємно дотичних кіл, що генерується рекурсивно за допомогою теореми Декарта про кола. Починаючи від трьох кіл, нові кола вписуються в кожен проміжок — і так нескінченно.
k4 = k1+k2+k3 ± 2√(k1k2+k2k3+k3k1)(k1+k2+k3+k4)² = 2(k1²+k2²+k3²+k4²)k4 = k1+k2+k3 ± 2√(k1k2+k2k3+k3k1)k4·z4 = k1z1+k2z2+k3z3 ± 2√(k1k2z1z2+k2k3z2z3+k3k1z3z1)
Якщо перші чотири значення кривини — цілі числа, то кожне коло в прокладці теж має цілочисельну кривину. Класичний приклад «-1, 2, 2, 3» є одним із найвідоміших у математиці. Розмірність Хаусдорфа аполлонієвої прокладки приблизно 1,3057.
Що таке аполлонієва прокладка?
Аполлонієва прокладка — це фрактал, що будується від трьох взаємно дотичних кіл: у кожен проміжок між ними вписується нове коло за теоремою Декарта, і так рекурсивно до нескінченності. В результаті отримується нескінченно складне розташування дотичних кіл, що не перекриваються і не залишають порожніх місць.
Що таке теорема Декарта про кола?
Теорема Декарта стверджує: якщо чотири кола попарно дотикаються, їхні кривини k1, k2, k3, k4 задовольняють рівняння (k1+k2+k3+k4)² = 2(k1²+k2²+k3²+k4²). Знаючи три дотичних кола, можна знайти кривину четвертого. Теорему відкрив Рене Декарт у 1643 році в листі до принцеси Єлизавети Богемської.
Що таке кривина кола?
Кривина k = 1/r, де r — радіус кола. Велика кривина відповідає маленькому, сильно зігнутому колу. Зовнішнє обмежувальне коло отримує від'ємну кривину, бо інші кола вписані всередину нього — ця конвенція знаків необхідна для правильної роботи теореми Декарта.
Комплексне розширення теореми Декарта дає положення центру. Якщо z = x + iy — комплексна координата центру, то k4·z4 = k1z1 + k2z2 + k3z3 ± 2√(k1k2z1z2 + k2k3z2z3 + k3k1z3z1). Два знаки дають два кола, дотичних до трійки — одне в проміжку, одне ззовні, що охоплює всі три.
Так. Розмірність Хаусдорфа прокладки приблизно 1,3057 незалежно від початкової конфігурації. Вона самоподібна: кожен проміжок містить зменшену копію цілого узору, а кола стають як завгодно малими. Загальна площа кіл менша від площі обмежувального кола, залишаючи канторівський залишок у зоні дотиків.
Якщо кривини перших чотирьох кіл — цілі числа, то і кривини всіх подальших кіл у прокладці теж цілі. Класичний приклад: кривини -1, 2, 2, 3. Від'ємний -1 позначає велике обмежувальне коло. Такі прокладки глибоко пов'язані з теорією квадратичних форм і розподілом простих чисел — активна галузь сучасної математики.
Аполлоній Пергський (бл. 262–190 до н.е.) вивчав кола, що торкаються, у Стародавній Греції. Рене Декарт відкрив співвідношення кривин у 1643 році. Сучасне математичне дослідження аполлонієвих прокладок формалізовано Фредеріком Содді, а пізніше Ґрехемом, Лагаріасом, Маллоузом, Вілксом і Дзанньє, які довели глибокі результати про цілочисельні пакування у XXI столітті.
Рекурсія теоретично нескінченна, але кола дуже швидко стають меншими за піксель. Симуляція зупиняється, коли радіус кола в пікселях падає нижче мінімального порогу (за замовчуванням 1 пкс). Збільшення порогу пришвидшує рендеринг; зменшення відкриває тонші деталі фракталу. Повзунок глибини задає додатковий жорсткий ліміт на кількість рівнів рекурсії.
Так. Прокручуйте колесо миші або переміщуйте повзунок масштабу, щоб збільшити зображення. Для переміщення — клацніть і перетягніть. Деталізація залежить від мінімального радіуса — зменшіть його, щоб побачити дрібніші кола при масштабуванні. На сенсорних пристроях підтримується жест зведення пальців для масштабування та свайп для переміщення.
Кола забарвлені за глибиною рекурсії. Кола нульового покоління (початкова трійка) мають один відтінок; глибші покоління зміщують тон вздовж обраної палітри. Це наочно відображає ієрархію фракталу — старі великі кола мають відмінний колір від крихітних вкладених. Доступні чотири палітри: Фіолетова, Спектр, Жар і Лід.