Струна гітари, що коливається, підтримує стоячі хвилі на дискретних гармонічних частотах f_n = n·v/(2L), де n — номер гармоніки, L — довжина струни, v = √(T/μ) — швидкість хвилі, що визначається натяжением T і лінійною густиною μ. Фундаментальна частота (n = 1) визначає висоту ноти; вищі гармоніки (n = 2, 3, 4…) є цілими кратними фундаментальної і формують характерний тембр гітари. Стандартна струна ля, налаштована на 440 Гц при L = 0,65 м, потребує швидкості хвилі v = 2 × 0,65 × 440 ≈ 572 м/с. Корпус гітари виконує роль акустичного резонатора, передаючи коливання струни через підставку до деки та випромінюючи звук через отвір і саму деку.
Регулюйте натяжіння, довжину та лінійну густину струни, щоб змінити швидкість хвилі та частоти. Обирайте гармонічні моди 1–8, щоб бачити анімовані стоячі хвилі з позначеними вузлами (нерухомі точки) і пучностями (максимальне відхилення). Натисніть «Синтез Фур'є», щоб скласти всі гармоніки до вибраного режиму і побачити, як форма хвилі щипка будується із суперпозиції синусоїд.
Що таке стояча хвиля на струні гітари?
Стояча хвиля утворюється, коли хвиля, що поширюється вздовж струни, відбивається від закріплених кінців (нульового порогу і підставки) та інтерферує з вхідною хвилею. На певних частотах відбита та вхідна хвилі складаються, утворюючи нерухомі вузли (нульове відхилення завжди) і пучності (максимальне відхилення, що коливається). Умова: довжина струни має дорівнювати цілому числу напіввдовжин: L = n·λ/2, звідки λ_n = 2L/n і f_n = v/λ_n = n·v/(2L).
Як натяжіння струни впливає на висоту тону?
Швидкість хвилі v = √(T/μ), тому висота тону f₁ = v/(2L) = √(T/μ)/(2L). Подвоєння натяжіння множить швидкість хвилі на √2 ≈ 1,414, підвищуючи висоту приблизно на квінту. Колки гітари регулюють натяжіння: затягування підвищує тон, розпускання знижує. Стандартна струна (μ ≈ 3 г/м, L ≈ 0,65 м), налаштована на E₂ (82 Гц), потребує натяжіння T = (2Lf₁)² × μ ≈ 66 Н.
Що таке вузли та пучності?
Вузли — точки на струні, що ніколи не рухаються: відхилення завжди нульове. Для моди n є n+1 вузлів (включно з двома закріпленими кінцями). Пучності — середини між сусідніми вузлами, де відхилення максимальне. Для моди n є n пучностей. Легкий дотик до струни гітари на 12-му ладу (середина, L/2) змушує вузол там з'явитися, пригнічуючи непарні гармоніки і видаючи більш високу, флейтову «флажолетну» ноту — на октаву вище відкритої струни.
Чиста синусоїда звучить тонко й «електронно». Коли ви щипаєте гітарну струну, початкова трикутна форма відхилення збуджує одночасно багато гармонік. Кожна гармоніка загасає з різною швидкістю (вищі загасають швидше), надаючи атаці та сустейну ноти різних тембральних характеристик. Відносні інтенсивності гармонік — спектр гармонік — саме те, що відрізняє гітару від піаніно або скрипки при виконанні тієї самої основної частоти.
Теорема Фур'є стверджує, що будь-яку періодичну хвильову форму можна виразити як суму синусоїд на кратних частотах, кожна зі своєю амплітудою та фазою. Для струни, що коливається, ряд Фур'є: y(x,t) = Σ Aₙ sin(nπx/L) cos(2πfₙt + φₙ). Панель «Синтез Фур'є» у цьому симуляторі накладає гармоніки n=1 до вибраного режиму з амплітудою, що зменшується як Aₙ = 1/n, наближаючи форму трикутного щипка.
Висота тону f₁ ∝ 1/L, тому скорочення вдвічі подвоює частоту (підвищує на октаву). На гітарі натискання струни на лад скорочує довжину коливаючоїся частини. 12-й лад розташований рівно на половині загальної довжини струни, дає октаву. Розташування ладів відповідає 2^(1/12) ≈ 1,0595: кожен лад скорочує струну в 12-й корінь із 2, підвищуючи тон на один півтон в рівномірній темперації.
Лінійна густина μ (кг/м) — маса на одиницю довжини струни. При однаковому натяжінні й довжині важча струна (більше μ) має нижчу швидкість хвилі і нижчий тон. Струни гітари мають різні діаметри — нижні струни значно важчі за верхні — щоб досягти широкого діапазону частот при комфортному натяжінні. Басові струни часто обмотані металевим дротом навколо серцевини, щоб збільшити μ без надмірної жорсткості.
Сама по собі струна випромінює дуже мало звуку, бо надто тонка, щоб ефективно штовхати повітря. Підставка передає коливання струни деці (резонансній деві), яка вібрує як значно більша площа випромінювання. Повітряна порожнина всередині корпусу резонує на частоті Гельмгольца f_H = (c/2π)√(A/VL_горловини), де A — площа отвору, V — об'єм корпусу, L_горловини — ефективна довжина отвору. Для стандартної гітари f_H ≈ 100 Гц, що підсилює баси. Картини Хладні на деці показують, які коливальні моди вона підтримує.
Поперечний рух ідеальної струни під натяжінням T з лінійною густиною μ описується хвильовим рівнянням ∂²y/∂t² = (T/μ)·∂²y/∂x². Це рівняння у частинних похідних другого порядку, розв'язками якого є синусоїдні хвилі, що поширюються зі швидкістю v = √(T/μ). При закріплених кінцях y(0,t) = y(L,t) = 0 допустимі розв'язки — стоячі хвилі y_n = sin(nπx/L)·cos(2πf_n t), де f_n = nv/(2L). Реальні струни мають жорсткість на вигин, яка дещо підвищує частоти вищих гармонік — ефект інгармонійності, чутний як незначна розстроєність у товстих басових струнах піаніно.