Епіцикли та перетворення Фур’є

Будь-яку періодичну функцію (а замкнену криву на площині — якщо розглядати x + iy як комплексне число) можна записати як суму простих обертів — це ряд Фур’є.

Ідея

Кожен доданок — коло радіуса |c_k|, що обертається з частотою k (і початковою фазою arg c_k). Центр кожного наступного кола сидить на краю попереднього. Кінець ланцюжка малює криву. Цей спосіб описування руху — давні епіцикли Птолемея, але математично ідеально точний, якщо кіл достатньо.

Що означають кола

• Великі кола з малими частотами задають загальну форму.
• Малі кола з високими частотами додають гострі деталі (кути, дрібні зубці).
• Чим менше кіл — тим «м’якша» фігура (це фільтр низьких частот).

Де застосовують

Стиснення зображень і звуку (JPEG, MP3 використовують споріднені перетворення), обробка сигналів, спектроскопія, МРТ, радіо, розпізнавання контурів.

Спробуйте

1. Серце → кількість кіл 3, 5, 10, 30: з якого моменту форма «впізнавана»?
2. Намалюйте зірку власноруч: чому гострі кути вимагають багато кіл?
3. Увімкніть показ оригіналу й порівняйте похибку.