Kwadrat jest dzielony na siatkę 3×3 dziewięciu mniejszych kwadratów, środkowy kwadrat zostaje usunięty, a proces powtarza się wewnątrz każdego z ośmiu pozostałych kwadratów. Dostosuj głębokość rekurencji, odwróć widok, aby zobaczyć usunięte dziury, i animuj podział krok po kroku.
Dywan Sierpińskiego powstaje przez wzięcie kwadratu, podzielenie go na siatkę 3×3 dziewięciu równych mniejszych kwadratów, usunięcie środkowego mniejszego kwadratu, a następnie powtórzenie tego samego kroku podziału i usunięcia wewnątrz każdego z ośmiu pozostałych kwadratów. Każdy dodatkowy poziom mnoży liczbę wypełnionych kwadratów przez osiem, jednocześnie zmniejszając całkowite wypełnione pole o czynnik 8/9, tworząc skomplikowaną siatkę dziur, która jest podstawowym przykładem fraktala samopodobnego.
Kwadrat jest rekurencyjnie dzielony na siatkę 3×3 z usuniętym środkiem na każdym poziomie, aż do wybranej głębokości iteracji n. Symulacja faktycznie wykonuje rekurencję po geometrii — na głębokości n istnieje dokładnie 8n wypełnionych mniejszych kwadratów pokrywających ułamek (8/9)n pierwotnego pola, oba obliczane na żywo i pokazywane w panelu statystyk.
Przeciągnij suwak iteracji od 0 do 6, aby zmienić głębokość rekurencji, wybierz kolor wypełnienia i przełącz Odwrócenie, aby ujawnić usunięte środkowe dziury zamiast pozostałej struktury. Włącz Animację, aby obejrzeć podział ujawniający się poziom po poziomie, albo wyłącz, aby narysować wynik końcowy natychmiast; Powtórz uruchamia animację od nowa, a Reset przywraca ustawienia domyślne.
Dywan Sierpińskiego ma wymiar fraktalny log(8)/log(3) ≈ 1,893 — więcej niż linia, ale mniej niż wypełniona płaszczyzna. Jest też krzywą „uniwersalną" na płaszczyźnie: matematycy wykazali, że każdą możliwą krzywą narysowaną na płaszczyźnie bez przecinania samej siebie można znaleźć gdzieś wewnątrz struktury dywanu.
Dywan Sierpińskiego to fraktal płaski powstający przez podział kwadratu na siatkę 3×3 dziewięciu równych mniejszych kwadratów, usunięcie środkowego z nich i powtarzanie tego samego procesu wewnątrz każdego z ośmiu pozostałych kwadratów w nieskończoność. Został po raz pierwszy opisany przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1916 roku.
Trójkąt Sierpińskiego usuwa środkowy trójkąt z trójkąta podzielonego na cztery części, podczas gdy dywan Sierpińskiego usuwa środkowy kwadrat z kwadratu podzielonego na siatkę 3×3 dziewięciu części. Oba są klasycznymi fraktalami samopodobnymi budowanymi przez rekurencyjne usuwanie centralnego elementu, ale dywan opiera się na kwadratach i podziale 3×3, a nie na trójkątach i podziale na dwie części.
Po n iteracjach pozostaje dokładnie 8n wypełnionych mniejszych kwadratów, ponieważ każdy krok podziału zachowuje 8 z 9 kwadratów siatki, a dzieje się to niezależnie wewnątrz każdego kwadratu, który przetrwał poprzedni poziom. Na przykład na głębokości 3 jest 83 = 512 kwadratów.
Każdy poziom zachowuje 8/9 pola, które było obecne przed nim, więc po n iteracjach pozostałe pole wynosi (8/9)n pierwotnego kwadratu. Ten ułamek kurczy się do zera wraz ze wzrostem n, mimo że liczba pojedynczych kwadratów rośnie bez ograniczeń — właśnie ten paradoks czyni wymiar fraktalny użytecznym pojęciem.
Jego wymiar Hausdorffa wynosi log(8)/log(3), czyli w przybliżeniu 1,8928. Mieści się to między wymiarem prostej krzywej (1) a wypełnioną płaszczyzną dwuwymiarową (2), co odzwierciedla fakt, że dywan wypełnia przestrzeń dokładniej niż linia, ale pozostawia nieskończenie wiele dziur, więc nigdy nie wypełnia całej płaszczyzny.