Cztery regularne niewypukłe wielościany gwiaździste, zbudowane metodą stellacji
Przeciągnij płótno, aby obracać ręcznie.
Wielościany Keplera-Poinsota to jedyne cztery regularne wielościany gwiaździste: bryły niewypukłe, których ściany są regularnymi wielokątami lub wielokątami gwiaździstymi (pentagramami), ułożonymi identycznie wokół każdego wierzchołka, podobnie jak w bryłach platońskich — z tą różnicą, że ich ściany przecinają się wzajemnie. Ich symbole Schläfliego wykorzystują ułamek 5/2 do oznaczenia pentagramu („gwiazdy pięcioramiennej", utworzonej z przekątnych regularnego pięciokąta): mały gwiazdosłup dwunastościenny {5/2,5}, wielki dwunastościan {5,5/2}, wielki gwiazdosłup dwunastościenny {5/2,3} i wielki dwudziestościan {3,5/2}. Kepler opisał pierwsze dwa w 1619 roku; Poinsot znalazł pozostałe dwa w 1809 roku, a Cauchy udowodnił w 1813 roku, że te cztery bryły wyczerpują całą listę.
Ten symulator buduje każdą bryłę geometrycznie z dwudziestościanu lub dwunastościanu za pomocą stellacji opartej na złotym podziale (φ): ściany pięciokątne są rozciągane na zewnątrz w kierunkach środków krawędzi, tworząc pięcioramienne ściany gwiaździste, a ściany pięciokątne „figury wierzchołkowej" są składane bezpośrednio z sąsiadów wierzchołków bazowego dwudziestościanu. Konstrukcja stanowi wierne przybliżenie do celów wizualizacji — prawdziwe diagramy stellacji wykorzystują dokładne przecięcia płaszczyzn ścian, co ta symulacja upraszcza za pomocą stałego współczynnika skali opartego na φ.
Ponieważ ich ściany przecinają się same ze sobą, naiwny wzór Eulera V − E + F = 2 zawodzi dla tych brył: mały gwiazdosłup dwunastościenny i wielki dwunastościan dają V − E + F = 12 − 30 + 12 = −6, podczas gdy wielki gwiazdosłup dwunastościenny i wielki dwudziestościan dają odpowiednio 20 − 30 + 12 = 2 i 12 − 30 + 20 = 2 — zgodność ta jest przypadkowa, a nie wynikiem zwykłego argumentu topologicznego. Poprawny, uogólniony wzór wykorzystuje gęstość każdej ściany (ile razy owija się ona wokół środka bryły); uwzględnienie gęstości przywraca spójny obraz topologiczny dla wszystkich czterech brył. Bryły Keplera-Poinsota pojawiają się także w relacji dualnej między małym gwiazdosłupem dwunastościennym a wielkim dwunastościanem — każda para dzieli ten sam układ krawędzi.
Ten symulator konstruuje cztery wielościany gwiaździste Keplera-Poinsota z bazowego dwudziestościanu/dwunastościanu za pomocą stellacji opartej na złotym podziale (φ), a następnie renderuje je jako obracające się szkielety na płótnie 2D, wykorzystując ręcznie napisaną projekcję 3D. Prawdziwe, publikowane wartości V, E, F (a nie uproszczona siatka renderowania) są pokazane w panelu statystyk.
Ściany pięciokątne dwunastościanu (lub pięciokąty figury wierzchołkowej dwudziestościanu) rozciągnięte na zewnątrz w proporcji złotego podziału, tworząc pięcioramienne kolce gwiaździste, dające w efekcie samoprzecinające się bryły niewypukłe — uproszczoną, lecz geometrycznie umotywowaną stellację.
Wybierz bryłę z listy rozwijanej. Włącz Automatyczny obrót i ustaw Prędkość, albo przeciągnij, by obracać ręcznie. Przełącz Grube linie i Kolor według ściany dla różnych stylów renderowania. Panel Statystyki wyświetla prawdziwy symbol Schläfliego, V, E, F oraz charakterystykę Eulera każdej bryły.
Louis Poinsot opisał dwa z czterech wielościanów gwiaździstych w 1809 roku, nie wiedząc, że Kepler odkrył już pozostałe dwa niemal dwa wieki wcześniej, w 1619 roku, badając wielokąty gwiaździste i orbity planet.
Pentagram to pięcioramienna „gwiazda pięciokątna" wykreślona przez przekątne regularnego pięciokąta. W notacji Schläfliego {n/d} ułamek 5/2 oznacza „połącz co drugi wierzchołek figury pięciokątnej", co daje kształt gwiazdy zamiast zwykłego pięciokąta {5}.
Regularność w sensie Schläfliego wymaga jedynie, by wszystkie ściany były przystającymi regularnymi wielokątami (lub wielokątami gwiaździstymi), a wszystkie wierzchołki były otoczone identycznie — nie mówi nic o wypukłości. Cztery bryły Keplera-Poinsota spełniają tę ścisłą regularność lokalną, mimo że ich ściany globalnie przenikają się nawzajem.
Wzór Eulera V − E + F = 2 zakłada, że powierzchnia bryły jest topologicznie prostą sferą. Samoprzecinające się wielościany gwiaździste mają ściany, które owijają się wokół środka więcej niż raz (właściwość zwana gęstością), co łamie to założenie i daje inne wartości V − E + F.
Jego dwanaście ścian pięciokątnych to „figury wierzchołkowe" dwudziestościanu: dla każdego z 12 wierzchołków dwudziestościanu pięciu sąsiadujących wierzchołków jest współpłaszczyznowych (z racji symetrii) i tworzy regularny pięciokąt, który staje się jedną ścianą wielkiego dwunastościanu.
Nie w naturalnych kryształach, ponieważ prawdziwa 5-krotna symetria jest zabroniona w periodycznych sieciach krystalicznych, ale wielościany gwiaździste są popularne w sztuce matematycznej, modelach papierowych i pojawiają się w godle niektórych uczelni oraz w twórczości inspirowanej Escherem, celebrującej geometrię wielościanów.