Mapa standardowa — nazywana też mapą Chirikova-Taylora na cześć radzieckiego fizyka Borysa Chirikova, który wprowadził ją w 1969 roku, oraz Johna Greene'a i J. B. Taylora, którzy niezależnie badali ją mniej więcej w tym samym czasie — modeluje swobodny rotor, który raz na cykl otrzymuje okresowe kopnięcie o sile K. Jest to jeden z najczęściej badanych modeli w dynamice nieliniowej, ponieważ zaledwie dwoma równaniami ujmuje istotną fizykę dowolnego okresowo pobudzanego układu hamiltonowskiego: naładowane cząstki krążące w synchrotronie i otrzymujące kopnięcie za każdym razem, gdy przechodzą przez nieliniowy element ogniskujący, linie pola magnetycznego błądzące w plazmie tokamaka, czy księżyc zaburzany okresowym wymuszeniem pływowym w mechanice nieba. Mapa aktualizuje kąt θ i moment pędu p zgodnie z p_{n+1} = p_n + K·sin(θ_n) oraz θ_{n+1} = θ_n + p_{n+1}, przy czym obie zmienne bierze się modulo 2π. Jedyny parametr K kontroluje, jak silnie każde kopnięcie sprzęga pęd z powrotem z kątem, a zatem jak silnie sąsiednie trajektorie są rozciągane i składane od jednego kopnięcia do następnego.
To, co dzieje się wraz ze wzrostem K, opisuje teoria Kołmogorowa-Arnolda-Mosera (KAM). Dla małych K większość niezmienniczych torów niezaburzonego (K=0) całkowalnego rotora przetrwa jako gładkie, nieprzerwane krzywe na płaszczyźnie (θ,p) — odpowiadają one ruchowi quasi-okresowemu i wyglądają jak zamknięte pętle lub łańcuchy „wysp” w przekroju Poincarégo. Wraz ze wzrostem K najpierw rozpadają się cieńsze i mniej „niewymierne” tory, zastępowane cienkimi pasmami chaosu, aż przy krytycznej wartości Greene'a K_c ≈ 0,971635 zostaje zniszczony ostatni przetrwały tor (najbardziej niewymierny, o liczbie obrotu równej złotej liczbie). Powyżej K_c nie ma już żadnej bariery, która powstrzymałaby trajektorię przed błądzeniem po całej przestrzeni fazowej, a układ wykazuje chaos globalny — jedno spójne chaotyczne morze. Co istotne, mapa standardowa jest hamiltonowska: jej wyznacznik jakobianu wynosi dokładnie 1, więc zgodnie z twierdzeniem Liouville'a zachowuje ona pole powierzchni. Oznacza to brak dyssypacji, brak atraktora i brak basenu przyciągania — trajektorie tutaj ani nie zbiegają, ani nie rozbiegają się do jakiegokolwiek zbioru o niższym wymiarze, w ostrym kontraście do dyssypatywnych dziwnych atraktorów (Lorenza, Rösslera, obwodu Chuy) występujących w innych częściach tej kolekcji. Ta symulacja zasiewa siatkę wielu warunków początkowych na torze (θ,p), iteruje każdy z nich tysiące razy i nanosi każdy punkt każdej trajektorii we własnym kolorze na wspólny przekrój Poincarégo, dzięki czemu łańcuchy wysp i chaotyczne morze stają się widoczne w miarę gromadzenia się punktów. Użyj suwaka K lub czterech presetów, aby przejść od mieszanego reżimu KAM, przez krytyczną wartość Greene'a, aż po w pełni rozwinięty chaos globalny.
Co to jest mapa standardowa / kopany rotor?
Mapa standardowa (mapa Chirikova-Taylora) to prosty, dyskretny w czasie model swobodnego rotora — wyobraź sobie ramię wahadła bez grawitacji, swobodnie się obracające — które co cykl otrzymuje natychmiastowe kopnięcie o sile K·sin(θ). Aktualizuje pęd p i kąt θ według wzorów p_{n+1} = p_n + K·sin(θ_n), θ_{n+1} = θ_n + p_{n+1}, oba modulo 2π. Mimo swojej prostoty jest kanonicznym modelem dla okresowo pobudzanych układów hamiltonowskich w fizyce.
Co fizycznie oznacza parametr K?
K to siła kopnięcia — mierzy, jak silnie każde okresowe kopnięcie sprzęga pęd z kątem, czyli jak silnie mapa rozciąga i składa przestrzeń fazową na każdym kroku. Przy K=0 mapa jest całkowalna (p jest zachowane, a ruch jest czysto obrotowy). Wraz ze wzrostem K nieliniowe rezonanse między różnymi prędkościami obrotu zaczynają się nakładać — to właśnie ten mechanizm (kryterium nakładania się rezonansów Chirikova) niszczy ruch regularny i wytwarza chaos.
Czym jest teoria KAM i krytyczna wartość Greene'a?
Teoria Kołmogorowa-Arnolda-Mosera (KAM) opisuje, które niezmiennicze tory układu całkowalnego przetrwają małe zaburzenie. W mapie standardowej najbardziej odporne są tory o „wystarczająco niewymiernych” liczbach obrotu (słabo przybliżanych przez ułamki wymierne). John Greene wykazał numerycznie, że ostatni przetrwały tor — ten o liczbie obrotu równej złotej liczbie (√5−1)/2 — zostaje zniszczony dokładnie przy K_c ≈ 0,971635, znanym dziś jako liczba Greene'a. Poniżej K_c zawsze przetrwa jakiś tor; powyżej — żaden, a chaos staje się globalny.
Układy dyssypatywne, takie jak równania Lorenza czy obwód Chuy, tracą z czasem energię (a ogólniej — objętość przestrzeni fazowej), więc ich trajektorie są przyciągane do niżej wymiarowego zbioru — dziwnego atraktora — niezależnie od punktu startowego. Mapa standardowa jest hamiltonowska: jej wyznacznik jakobianu wynosi dokładnie 1, więc zgodnie z twierdzeniem Liouville'a pole powierzchni w przestrzeni fazowej jest dokładnie zachowywane krok po kroku. Nie ma tu atraktora, do którego można by dążyć, ani dyssypacji, która kurczyłaby objętości. Zamiast pytać „dokąd trafiają trajektorie”, istotne dla układu hamiltonowskiego jest pytanie „które obszary przestrzeni fazowej pozostają regularne (tory), a które stają się chaotyczne” — i właśnie na to odpowiada teoria KAM.
Łańcuchy wysp to łańcuchy zamkniętych pętli, które pojawiają się wokół przetrwałych rezonansów niskiego rzędu — na przykład wokół p = 2π·(m/n) dla małych liczb całkowitych m,n. Punkty pojedynczego warunku początkowego, który trafia do wnętrza wyspy, przeskakują z wyspy na wyspę w łańcuchu przy kolejnych iteracjach, ale nigdy go nie opuszczają, tworząc gładki, uporządkowany wzór. Są wizualnym sygnałem regularnego (niechaotycznego) ruchu quasi-okresowego osadzonego w skądinąd chaotycznym morzu i utrzymują się nawet znacznie powyżej krytycznej wartości Greene'a K_c, ponieważ niektóre pojedyncze rezonanse pozostają stabilne długo po zniszczeniu ostatniego toru KAM, który je kiedyś rozdzielał.
Chaotyczne morze to spójny obszar przestrzeni fazowej wypełniony chaotycznymi trajektoriami — punktami, które błądzą pozornie losowo, gęsto pokrywając obszar, zamiast kreślić gładką krzywą. Poniżej krytycznej wartości Greene'a K_c chaotyczne morze jest zamknięte w oddzielnych kieszeniach przez przetrwałe tory KAM, które działają jak nieprzenikalne bariery. Powyżej K_c, gdy każdy tor zostanie zniszczony, kieszenie łączą się w jedno spójne morze rozciągające się na cały tor (θ,p) — to jest właśnie „chaos globalny”, a trajektoria rozpoczęta w dowolnym miejscu morza może z czasem znaleźć się dowolnie blisko dowolnego innego punktu w nim.
Mapa standardowa jest ogólnym modelem dla dowolnego układu, który otrzymuje okresowe kopnięcie, więc pojawia się w całej fizyce: w akceleratorach cząstek modeluje poprzeczny ruch naładowanej cząstki, która otrzymuje nieliniowe kopnięcie ogniskujące za każdym razem, gdy przechodzi przez magnes, i jest wykorzystywana do badania utraty wiązki; w fizyce plazmy modeluje błądzenie linii pola magnetycznego w zaburzonym tokamaku, gdzie powierzchnie KAM odpowiadają „dobrym” powierzchniom strumienia magnetycznego, które utrzymują plazmę; w mechanice nieba przybliża orbity zaburzone okresowym wymuszeniem pływowym lub rezonansowym, co ma znaczenie dla stabilności orbit asteroid i pierścieni planetarnych.
Przekrój Poincarégo to „plaster” o niższym wymiarze przez przestrzeń fazową układu ciągłego w czasie lub okresowo pobudzanego, próbkowany raz na cykl wymuszenia (lub raz przy każdym przecięciu wybranej powierzchni). Dla kopanego rotora próbkowanie (θ,p) raz na kopnięcie zamienia pełny ciągły ruch dokładnie w dyskretną mapę standardową, więc kolejne iteracje mapy są dokładnie przekrojem Poincarégo. Naniesienie punktów przekroju wielu trajektorii na tę samą płaszczyznę (θ,p) ujawnia globalną strukturę — niezmiennicze tory jako gładkie krzywe, łańcuchy wysp wokół rezonansów i chaotyczne morza jako rozproszone chmury punktów — znacznie wyraźniej niż mogłaby to zrobić jakakolwiek pojedyncza ciągła trajektoria.