I. Dynamika płynów: od pierścieni wirowych do gazu rozrzedzonego
💨Pierścień wirowy — dynamika, przeskakiwanie (leapfrogging) i rekoneksja
Wystrzel toroidalny wir przez nieruchomy płyn. Steruj promieniem pierścienia, grubością rdzenia i cyrkulacją. Wypuść drugi pierścień i obserwuj przeskakiwanie; zbliż do siebie dwa przeciwbieżnie wirujące pierścienie i zaobserwuj rekoneksję.
Pierścień wirowy to jedna z najtrwalszych struktur w dynamice płynów. W przeciwieństwie do kropli barwnika, która rozprasza się w ciągu kilku sekund, pierścień wirowy może przebyć metry w nieruchomym powietrzu, zachowując swoją tożsamość przez dziesiątki promieni pierścienia drogi. Jest samonapędzający się: pierścień indukuje pole prędkości, które unosi jego własny rdzeń do przodu z prędkością
V_ring = (Gamma / 4*pi*R) * (ln(8R/a) - 1/4)
Gamma : cyrkulacja (m^2/s) — całka wirowości po przekroju
R : promień pierścienia (m)
a : promień rdzenia (m, a << R dla pierścienia o cienkim rdzeniu)
Prawo Biota–Savarta dla kołowej nici daje ten wynik wiodącego rzędu.
Człon logarytmiczny odzwierciedla dalekozasięgową indukcję z własnego dalekiego pola pierścienia. Cienkie pierścienie (a/R → 0) poruszają się najszybciej, ponieważ samoindukcja rozbiega się w miarę zmniejszania się rdzenia, jednak lepkość zawsze z czasem pogrubia rdzeń, stopniowo spowalniając pierścień. Dlatego bąbelkowy pierścień delfina ostatecznie zatrzymuje się i wznosi, zamiast pędzić naprzód w nieskończoność.
Przeskakiwanie (leapfrogging)
Wystrzel dwa współosiowe pierścienie o tym samym znaku jeden za drugim, a rozpocznie się niezwykły taniec: tylny pierścień przyspiesza (porusza się przez zbieżny indukowany przepływ lidera), przechodzi przez przedni pierścień, staje się nowym liderem, po czym cykl się powtarza. To przeskakiwanie jest okresowe i stabilne, gdy pierścienie są identyczne, ale przechodzi w chaos, gdy różnią się nieznacznie cyrkulacją lub promieniem — piękna droga do turbulencji, którą można obserwować w zbiorniku z wodą z wstrzykniętym barwnikiem.
🌀Wir Taylora–Greena — powstawanie turbulencji i kaskada energii
Symuluj kanoniczny warunek początkowy Taylora–Greena w okresowym pudełku. Obserwuj, jak początkowo gładkie sinusoidalne pole prędkości rozpada się na drobnoskalową turbulencję. Wykreśl energię kinetyczną, enstrofię i widmo energii Kołmogorowa.
Wir Taylora–Greena to ulubiony przypadek testowy teoretyków zajmujących się turbulencją. Początkowe pole prędkości to prosty wzorzec trygonometryczny — gładki, okresowy, znany analitycznie — a jednak w ciągu kilku czasów obrotu rozwija wszystkie cechy w pełni rozwiniętej turbulencji: szeroki zakres inercyjny w widmie energii, intensywne rurki wirowe i przerywane zdarzenia dysypacji. Powód jest taki, że równania Naviera–Stokesa są nieliniowe: każdy gładki warunek początkowy przy wysokiej liczbie Reynoldsa będzie kaskadowo przekazywał energię od dużych skal do małych, aż lepka dysypacja ją wchłonie.
Warunek początkowy (3D, okresowe pudełko [0, 2*pi]^3):
u = V_0 * sin(x) * cos(y) * cos(z)
v = -V_0 * cos(x) * sin(y) * cos(z)
w = 0
Widmo energii Kołmogorowa (zakres inercyjny):
E(k) ~ C * epsilon^(2/3) * k^(-5/3)
epsilon : średnie tempo dysypacji energii (m^2/s^3)
k : liczba falowa (rad/m)
C : stała Kołmogorowa ~ 1,5
Ważne dla L^-1 << k << eta^-1 (L = skala całkowa, eta = mikroskala Kołmogorowa)
Nachylenie −5/3 widma energii to przewidywanie Kołmogorowa z 1941 roku i sprawdza się ono zaskakująco dobrze w eksperymentach i symulacjach w wielu rzędach wielkości liczby Reynoldsa. Symulacja wykreśla to widmo w czasie rzeczywistym, pozwalając zmierzyć nachylenie i obserwować, jak staje się ono coraz bardziej strome — od −2 (początkowy reżim dużej skali) do −5/3 w miarę rozwoju turbulencji — a następnie ponownie się spłaszcza, gdy energia gromadzi się na skali dysypacji.
🫧Wznoszący się bąbelek — niestabilność Rayleigha–Taylora i deformacja
Uwolnij lekki bąbelek gazu w gęstym płynie. Steruj promieniem bąbelka, stosunkiem gęstości i napięciem powierzchniowym. Obserwuj, jak bąbelek deformuje się od kształtu kulistego przez spłaszczony aż po toroidalny (obwarzankowy) w miarę wznoszenia, oraz obserwuj kolce Rayleigha–Taylora, gdy stratyfikacja gęstości jest odwrócona.
Wznoszący się bąbelek jest rządzony równowagą między wyporem, oporem, napięciem powierzchniowym i bezwładnością. Dla małych bąbelków napięcie powierzchniowe utrzymuje kulisty kształt i dominuje opór Stokesa. Dla dużych bąbelków wygrywa bezwładność: bąbelek deformuje się w spłaszczoną sferoidę, potem w kulistą czapkę, i — przy odpowiednim stosunku gęstości — ostatecznie odrywa swoją tylną część, tworząc toroidalny pierścień wirowy. Bezwymiarowe liczby sterujące tym diagramem fazowym to liczba Eötvösa Eo = gΔρR²/σ (stosunek wyporu do napięcia powierzchniowego) oraz liczba Mortona Mo = gμ&sup4;Δρ/(ρ²σ³).
Niestabilność Rayleigha–Taylora występuje, gdy cięższy płyn znajduje się nad lżejszym (np. woda nad olejem, lub gęsta materia gwiazdowa nad strefą konwektywną). Małe zaburzenia na granicy rozdziału rosną wykładniczo z tempem wzrostu γ = sqrt(A·g·k), gdzie A to liczba Atwooda (ρ&sub2;−ρ&sub1;)/(ρ&sub2;+ρ&sub1;), a k to liczba falowa. Na granicy rozdziału szybko powstają „kolce” ciężkiego płynu opadające przez „bąbelki” lekkiego płynu — wzorzec obserwowany zarówno w pozostałościach po supernowych, jak i w kapsułach inercyjnej syntezy termojądrowej, a nawet w przewróconych puszkach farby.
Gaz rozrzedzony — DSMC i reżimy liczby Knudsena
Symuluj przepływ gazu w skali molekularnej metodą bezpośredniej symulacji Monte Carlo (DSMC). Zmieniaj liczbę Knudsena od kontinuum (Kn < 0.001) do przepływu swobodnomolekularnego (Kn > 10). Obserwuj poślizg prędkości, skok temperatury i efekty warstwy Knudsena, których równania Naviera–Stokesa w ogóle nie uwzględniają.
Równania Naviera–Stokesa zakładają, że płyn jest ośrodkiem ciągłym — poprawne przybliżenie, gdy średnia droga swobodna λ jest znacznie mniejsza niż skala długości przepływu L. Stosunek Kn = λ/L, liczba Knudsena, mówi, kiedy to założenie przestaje obowiązywać. Przy Kn > 0.01 prędkość poślizgu przy ściankach staje się mierzalna; przy Kn > 0.1 cały profil prędkości zmienia charakter; przy Kn > 10 cząsteczki podróżują od ścianki do ścianki bez żadnych zderzeń (przepływ swobodnomolekularny). Ten reżim jest wszechobecny w aerodynamice statków kosmicznych, urządzeniach MEMS oraz w górnej atmosferze powyżej 80 km.
Metoda DSMC (bezpośrednia symulacja Monte Carlo), opracowana przez Graeme'a Birda w latach 60. XX wieku, symuluje reprezentatywną próbkę cząsteczek, obliczając ich trajektorie i stochastyczne zderzenia w każdym kroku czasowym. Zbiega ona do równania Boltzmanna, a nie Naviera–Stokesa, i uchwytuje efekty takie jak odchylenie funkcji rozkładu prędkości od równowagi Maxwella–Boltzmanna — efekty, których żadna metoda kontinuum nie jest w stanie odtworzyć.
🌊Fale lepkosprężyste — model Maxwella i model Kelvina–Voigta
Wyślij impuls falowy przez ośrodek lepkosprężysty. Przełączaj się między modelem Maxwella (sprężyna i tłumik połączone szeregowo) a modelem Kelvina–Voigta (połączone równolegle). Obserwuj dyspersję prędkości fali, tłumienie oraz przejście od zachowania ciała sprężystego do zachowania cieczy lepkiej wraz ze zmianą częstotliwości.
Większość rzeczywistych płynów nie jest ani czysto lepka (jak woda), ani czysto sprężysta (jak guma): są lepkosprężyste. Śluz, krew, stopione polimery, żele biologiczne oraz płaszcz Ziemi — wszystkie płyną jak ciecze w długich skalach czasowych i sprężyście powracają do kształtu jak ciała stałe w krótkich. Model Maxwella ujmuje to za pomocą pojedynczego czasu relaksacji τ:
Równanie konstytutywne Maxwella:
dσ/dt + σ/τ = G * dε/dt
σ : naprężenie (Pa) ε : odkształcenie
G : moduł sprężystości (Pa) τ = η/G : czas relaksacji (s)
η : lepkość dynamiczna (Pa·s)
W skalach czasowych t << τ : zachowanie ciała stałego (sprężyste magazynowanie)
W skalach czasowych t >> τ : zachowanie cieczy (przepływ lepki)
Prędkość fali w płynie Maxwella (częstotliwość ω):
c(ω) = sqrt(G/ρ) * |ωτ| / sqrt(1 + ω^2 τ^2)
→ 0 przy niskiej częstotliwości (brak fal ścinających w cieczy)
→ sqrt(G/ρ) przy wysokiej częstotliwości (prędkość fali ścinającej ciała stałego)
II. Astrofizyka: wnętrza gwiazd, białe karły i tranzyty egzoplanet
⭐Wnętrze gwiazdy — równania budowy i gwiazdy ciągu głównego
Scałkuj cztery równania budowy gwiazdy dla gwiazdy o wybranej masie i składzie. Zwizualizuj radialne profile ciśnienia, temperatury, gęstości i jasności. Przełączaj między strefami radiacyjnymi i konwektywnymi; zmieniaj skład, by obserwować ruch gwiazdy na diagramie H–R.
Gwiazda to samograwitująca kula gazu w równowadze hydrostatycznej: grawitacja ciągnie do wewnątrz, gradient ciśnienia pcha na zewnątrz, a reakcje jądrowe w centrum dostarczają energii, która podtrzymuje gradient temperatury. Cztery sprzężone równania różniczkowe opisują całą budowę:
Równania budowy gwiazdy:
dM/dr = 4π r^2 ρ (ciągłość masy)
dP/dr = -G M(r) ρ / r^2 (równowaga hydrostatyczna)
dL/dr = 4π r^2 ρ ε(r,T,X) (generacja energii)
dT/dr = -(3 κ ρ L) / (64π σ_SB r^2 T^3) (transport radiacyjny)
lub -(1 - 1/γ) T/P * dP/dr (adiabatyczny, jeśli konwektywny)
ρ : gęstość κ : nieprzezroczystość ε : tempo generacji energii jądrowej
X : ułamek masowy wodoru γ : wykładnik adiabatyczny
σ_SB : stała Stefana–Boltzmanna
Przełączanie między transportem radiacyjnym a konwektywnym jest rządzone przez kryterium Schwarzschilda: konwekcja pojawia się wszędzie tam, gdzie rzeczywisty gradient temperatury staje się bardziej stromy niż gradient adiabatyczny. Gwiazdy o małej masie, jak Słońce, mają konwektywne otoczki wokół radiacyjnego jądra; gwiazdy masywne powyżej około 1,5 M⊙ odwracają ten układ, mając konwektywne jądra i radiacyjne otoczki. Symulacja pokazuje oba przypadki i pozwala śledzić granicę w czasie rzeczywistym podczas zmiany masy gwiazdy.
Łańcuch pp i cykl CNO
Poniżej około 1,5 masy Słońca w spalaniu jądrowym dominuje łańcuch proton–proton: cztery protony łączą się w jedno jądro helu-4, uwalniając 26,73 MeV (defekt masy przekształcony zgodnie z E = mc²). Powyżej 1,5 M⊙ dominuje cykl CNO, wykorzystujący węgiel, azot i tlen jako katalizatory. Ponieważ tempo cyklu CNO skaluje się w przybliżeniu jak T^20 w porównaniu z T^4 dla łańcucha pp, gwiazdy z cyklem CNO są znacznie bardziej wrażliwe na temperaturę: niewielki wzrost temperatury centralnej daje ogromny wzrost jasności, co wyjaśnia, dlaczego ciąg główny gwałtownie stromieje powyżej 1,5 M⊙ na diagramie Hertzsprunga–Russella.
Chłodzenie białego karła — prawo Mestela i krystalizacja
Śledź węglowo-tlenowego białego karła, gdy chłodzi się przez miliardy lat. Wykreśl jasność w funkcji wieku (prawo chłodzenia Mestela). Obserwuj, jak jądro krystalizuje w miarę zestalania się plazmy jonowej, uwalniając ciepło utajone, które chwilowo zatrzymuje krzywą chłodzenia — dokładnie tak, jak zaobserwowano za pomocą Gai dla pobliskich białych karłów.
Biały karzeł nie ma źródła energii jądrowej. To po prostu gorący żar — zdegenerowane jądro węglowo-tlenowe wielkości mniej więcej Ziemi — promieniujące zgromadzoną energię cieplną w przestrzeń. Ponieważ ciśnienie degeneracji elektronów podtrzymuje go wbrew grawitacji niezależnie od temperatury, chłodzenie nie wywołuje kurczenia się: gwiazda po prostu przygasa. Klasyczne prawo chłodzenia Mestela podaje jasność jako funkcję wieku:
Prawo chłodzenia Mestela (uproszczone):
L/L_sun ~ 10^5 * (M/M_sun)^(5/7) * (mu_e / mu_I)^(2/7) * (t / 1 Gyr)^(-7/5)
mu_e : średnia masa cząsteczkowa na elektron
mu_I : średnia masa cząsteczkowa na jon
t : wiek chłodzenia (mld lat)
Biały karzeł CO o masie 0.6 M_sun osiąga L ~ 10^-4 L_sun po ~5 mld lat
i L ~ 10^-5 L_sun po ~10 mld lat (najsłabsze pobliskie białe karły)
Prawo chłodzenia jest potężnym kosmochronometrem: najchłodniejsze białe karły w populacji gwiazdowej dają dolną granicę jej wieku. Jest jednak pewien niuans. Gdy temperatura jądra spada poniżej około 10&sup6; K, parametr sprzężenia kulombowskiego Γ (stosunek energii elektrostatycznej do cieplnej) przekracza 175 i sieć jonowa krystalizuje. Przejście fazowe uwalnia ciepło utajone, chwilowo wstrzymując chłodzenie i tworząc nagromadzenie białych karłów przy określonej jasności — cecha wyraźnie wykryta przez Gaia DR2 na diagramie Hertzsprunga–Russella dla 260 000 pobliskich białych karłów.
Białe karły są najpospolitszą pozostałością gwiazdową w Galaktyce. Około 97% wszystkich gwiazd, w tym Słońce, zakończy życie jako białe karły. Ponieważ chłodzą się monotonicznie i w przewidywalny sposób, spis jasności białych karłów jest równoważny spisowi wieku gwiazd — „funkcja jasności białych karłów” to jeden z niewielu niezależnych od modelu zegarów dostępnych archeologii galaktycznej.
Fotometria tranzytu egzoplanety — krzywe blasku i pociemnienie brzegowe
Skonfiguruj gwiazdę i krążącą wokół niej planetę (stosunek promieni, nachylenie orbity, półoś wielka, współczynnik pociemnienia brzegowego). Symuluj krzywą blasku tranzytu i odtwórz promień planety na podstawie głębokości. Dodaj szum, by naśladować obserwacje Keplera lub TESS, i poćwicz dopasowywanie modelu tranzytu.
Gdy planeta przechodzi przed swoją gwiazdą macierzystą, blokuje niewielki ułamek światła gwiazdy: głębokość tranzytu δ = (R_p/R_*)², gdzie R_p to promień planety, a R_* to promień gwiazdy. Dla analogu Ziemia-Słońce δ ~ (6371/696000)² ~ 84 ppm — przygasnięcie o 0,0084%, osiągalne za pomocą fotometrii kosmicznej Keplera lub TESS, ale niewidoczne z Ziemi. Dla gorącego Jowisza (R_p ~ 1,2 R_Jow, R_* ~ 1 R_Słońca) δ ~ 1,3%, łatwo mierzalne nawet skromnym teleskopem.
Kluczowe obserwable tranzytu:
Głębokość tranzytu: δ = (R_p / R_*)^2
Czas trwania tranzytu: T_14 = (P / π) * arcsin(sqrt((R_* + R_p)^2 - b^2 R_*^2) / a)
Parametr zderzenia: b = (a/R_*) * cos(i) (i = nachylenie orbity)
Pociemnienie brzegowe (prawo kwadratowe):
I(μ) / I(1) = 1 - u_1*(1-μ) - u_2*(1-μ)^2
μ = cos(θ) θ = kąt od środka tarczy
u_1, u_2 : tabelaryzowane na podstawie modeli atmosfer gwiazdowych (np. ATLAS9)
Pociemnienie brzegowe zaokrągla płaskodenny tranzyt w wygięte zagłębienie
i musi być uwzględnione, aby precyzyjnie odtworzyć R_p.
Symulacja odtwarza czterokontaktowy model tranzytu: pierwszy kontakt zewnętrzny (T1), pierwszy kontakt wewnętrzny (T2), drugi kontakt wewnętrzny (T3) i drugi kontakt zewnętrzny (T4). Między T2 a T3 planeta znajduje się w całości na tarczy gwiazdy, a spadek strumienia jest w przybliżeniu stały na głębokości δ; nachylenia wejścia (T1–T2) i wyjścia (T3–T4) kodują stosunek promieni planeta-gwiazda oraz prędkość tranzytu. Pociemnienie brzegowe — fakt, że brzeg gwiazdy jest chłodniejszy i ciemniejszy niż jej centrum — zaokrągla płaskie dno w wygiętą misę, efekt szczególnie widoczny w niebieskich zakresach optycznych.
Co tranzyty ujawniają poza promieniem
Pojedyncza krzywa blasku tranzytu daje promień planety (z głębokości), nachylenie orbity (z czasu trwania) i profil pociemnienia brzegowego (z krzywizny w trakcie tranzytu). Połącz to z pomiarami prędkości radialnej, a otrzymasz masę planety, a więc jej gęstość — klucz do odróżnienia skalistych superziem od światów wodnych i mini-Neptunów. Spektroskopia transmisyjna, mierząca, jak głębokość tranzytu zmienia się z długością fali, sonduje atmosferę planety: cechy absorpcji molekularnej wody, dwutlenku węgla, metanu czy sodu zwiększają efektywny promień przy określonych długościach fali i odciskają się na zależnej od długości fali głębokości. To podstawowe narzędzie charakteryzowania atmosfer egzoplanet za pomocą JWST.
Wypróbuj wszystkie osiem symulacji
💨Pierścień wirowy
Wystrzeliwuj pierścienie, wywołuj przeskakiwanie i obserwuj, jak toroidalne wiry przetrwają i łączą się ponownie.
Wir Taylora–Greena
Obserwuj, jak gładkie pole sinusoidalne przechodzi w turbulencję; obserwuj pojawianie się widma energii Kołmogorowa −5/3.
Wznoszący się bąbelek
Śledź bąbelek od kształtu kulistego do toroidalnego, gdy wypór, napięcie powierzchniowe i bezwładność rywalizują ze sobą; wywołaj niestabilność Rayleigha–Taylora przy odwróconym gradiencie gęstości.
Gaz rozrzedzony (DSMC)
Zmieniaj liczbę Knudsena i obserwuj, jak załamuje się mechanika ośrodków ciągłych; obserwuj poślizg prędkości i przepływ swobodnomolekularny w skali molekularnej.
Fale lepkosprężyste
Wysyłaj impulsy przez ośrodki Maxwella i Kelvina–Voigta; obserwuj dyspersję, tłumienie i przejście ciało stałe–ciecz wraz ze zmianą częstotliwości.
Wnętrze gwiazdy
Scałkuj równania budowy gwiazdy dla dowolnej masy; badaj strefy konwektywne i radiacyjne oraz obserwuj ruch gwiazdy na diagramie H–R.
Chłodzenie białego karła
Śledź prawo chłodzenia Mestela przez miliardy lat; obserwuj zatrzymanie spowodowane krystalizacją i jego ślad w funkcji jasności.
Fotometria tranzytu egzoplanety
Zbuduj krzywą blasku tranzytu od podstaw; odtwórz promień planety i nachylenie; dodaj szum, by symulować obserwacje Keplera i TESS.
Myśl na zakończenie
Dynamika płynów i astrofizyka mają ze sobą więcej wspólnego, niż się powszechnie uznaje. Te same równania Naviera–Stokesa, które rządzą pierścieniem dymu, opisują też konwekcję we wnętrzu Słońca. Ta sama niestabilność Rayleigha–Taylora, która rozrywa wznoszący się bąbelek, zasiewa też strukturę w pozostałości po supernowej. Ta sama reologia lepkosprężysta, która rządzi przepływem polimerów, kontroluje też, jak płaszcz Ziemi reaguje na obciążenie lodowcowe na przestrzeni tysiącleci. Wave 110 umieszcza te osiem symulacji obok siebie, byś mógł dostrzec te nici powiązań i pociągnąć za nie samodzielnie — bez instalacji, bez zależności, po prostu fizyka działająca w Twojej przeglądarce.