Ogólna teoria względności i kosmologia

Zasada równoważności i zakrzywiona czasoprzestrzeń

Grawitacja Newtona to siła: spadające jabłko przyspiesza pod wpływem niewidzialnego przyciągania. Odkryciem Einsteina było to, że osoba w zamkniętej windzie nie może odróżnić swobodnego spadku od przebywania w głębokim kosmosie bez grawitacji, ani stacjonarnej windy na Ziemi od windy przyspieszającej ku górze z g = 9,8 m/s² w pustej przestrzeni. To słaba zasada równoważności: masa grawitacyjna i bezwładna są identyczne.

Silna zasada równoważności rozszerza to na całą fizykę: lokalnie, w dowolnym swobodnie spadającym układzie odniesienia, prawa fizyki są prawami szczególnej teorii względności. Grawitacja nie jest siłą, lecz przejawem zakrzywionej czasoprzestrzeni. Ciało spadające swobodnie podąża najprostszą możliwą ścieżką — geodezyjną — przez zakrzywioną czterowymiarową czasoprzestrzeń. To, co postrzegamy jako przyciąganie grawitacyjne, jest w rzeczywistości geometrią czasoprzestrzeni mówiącą materii, dokąd ma się poruszać, oraz materią mówiącą czasoprzestrzeni, jak ma się zakrzywiać.

Tensor metryczny g_μν jest podstawowym obiektem OTW. Mówi on, jaka jest odległość między bliskimi zdarzeniami. W płaskiej przestrzeni g_μν = diag(−1, 1, 1, 1) (metryka Minkowskiego η_μν). W zakrzywionej czasoprzestrzeni g_μν zmienia się od punktu do punktu i w pełni koduje efekty grawitacyjne.

Równania pola Einsteina

Dynamiczne równania OTW wiążą krzywiznę czasoprzestrzeni z jej zawartością energetyczną:

Te dziesięć sprzężonych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych jest notorycznie trudnych do rozwiązania ściśle. Lewa strona koduje krzywiznę czasoprzestrzeni; prawa strona koduje rozkład materii, energii i pędu. „Czasoprzestrzeń mówi materii, jak się poruszać; materia mówi czasoprzestrzeni, jak się zakrzywiać” (Wheeler).

Równanie geodezyjne opisuje trajektorię swobodnie spadającej cząstki:

Geometria Schwarzschilda i czarne dziury

W 1916 roku Karl Schwarzschild znalazł pierwsze ścisłe rozwiązanie równań pola Einsteina: geometrię na zewnątrz sferycznie symetrycznej, nierotującej i nienaładowanej masy. Metryka Schwarzschilda ma postać:

Przy r = r_s składowa metryki g_tt = 0, a g_rr rozbiega się (osobliwość współrzędnych, nie fizyczna). To horyzont zdarzeń czarnej dziury Schwarzschilda: powierzchnia, poza którą prędkość ucieczki przekracza c. Po przekroczeniu jej wszystkie geodezyjne prowadzą do centralnej osobliwości przy r = 0, gdzie krzywizna jest fizycznie nieskończona.

Sfera fotonowa i najbardziej wewnętrzna stabilna orbita kołowa

Cząstki masywne mogą krążyć po orbitach kołowych (geodezyjnych) tylko dla r > 3r_s/2, przy czym ostatnia stabilna orbita kołowa znajduje się przy r = 3r_s (ISCO). Fotony mogą krążyć (niestabilnie) przy r = 3r_s/2, czyli na sferze fotonowej. Dysk akrecyjny czarnej dziury rozciąga się od ISCO do wewnątrz, a promieniowanie emitowane w tym obszarze niesie charakterystyczne widmo widoczne na obrazach VLBI (obraz M87* z Event Horizon Telescope, 2019; obraz Sgr A*, 2022).

Czarne dziury Kerra

Realistyczne czarne dziury opisuje metryka Kerra (Roy Kerr, 1963), która dodaje rotację parametryzowaną przez parametr spinu a = J/Mc (moment pędu na jednostkę masy). Obszar horyzontu zdarzeń kurczy się z r_s do r₊ = r_s/2 + √(r_s²/4 − a²). Wleczenie układów inercjalnych (efekt Lense'a-Thirringa) porywa czasoprzestrzeń wraz z rotującym ciałem; wewnątrz ergosfery (r > r₊, ale poza granicą statyczności) niemożliwe jest pozostanie w spoczynku. Proces Penrose'a pozwala wydobyć energię rotacyjną z ergosfery, do 29% Mc² dla maksymalnie rotującej dziury.

Soczewkowanie grawitacyjne

Światło podąża zerowymi geodezyjnymi (ds² = 0) w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Masywny obiekt pomiędzy źródłem a obserwatorem ugina promienie świetlne, działając jak soczewka grawitacyjna. Einstein przewidział kąt ugięcia:

Gdy źródło, soczewka i obserwator są idealnie wyrównane, obraz tworzy pełny pierścień — pierścień Einsteina — o promieniu kątowym: θ_E = √(4GM d_LS / (c² d_L d_S)). Niewielkie odchylenia od wyrównania dają pary łukowych obrazów. Przekrój czynny soczewkowania skaluje się jak θ_E², więc masywniejsze i bliższe soczewki dają większe efekty.

Silne soczewkowanie (gromady galaktyk, masywne galaktyki eliptyczne) tworzy wielokrotne obrazy, łuki i pierścienie Einsteina widoczne na zdjęciach HST. Słabe soczewkowanie powoduje subtelne, spójne zniekształcenia kształtów w próbkach galaktyk tła, wykorzystywane do mapowania ciemnej materii. Mikrosoczewkowanie monitoruje jasność pojedynczych gwiazd pod kątem tymczasowych zdarzeń wzmocnienia, gdy w polu widzenia przechodzi zwarty obiekt pierwszoplanowy; metodą tą odkryto egzoplanety i bada się czarne dziury o masach gwiazdowych w halo Drogi Mlecznej.

Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni i grawitacyjna dylatacja czasu

Fotony wychodzące ze studni grawitacyjnej tracą na jej rzecz energię, a ich częstotliwość maleje: grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni. Z metryki Schwarzschilda stosunek częstotliwości emitowanej do odebranej wynosi:

Ten sam wzór opisuje grawitacyjną dylatację czasu: zegary głębiej w polu grawitacyjnym chodzą wolniej. Zegar na powierzchni Ziemi chodzi wolniej o ~6,97 × 10⁻¹⁰ na sekundę niż zegar w nieskończonej odległości. Satelity GPS krążą na wysokości 20 200 km; ich zegary chodzą szybciej o +45,9 μs/dobę (efekt grawitacyjny) i wolniej o −7,2 μs/dobę (dylatacja czasu szczególnej teorii względności wynikająca z prędkości orbitalnej v = 3,87 km/s), co daje netto +38,7 μs/dobę, które trzeba korygować — w przeciwnym razie pozycje GPS dryfowałyby o ≈ 11 km/dobę.

W pobliżu czarnej dziury o masie gwiazdowej dylatacja czasu staje się ekstremalna. Przy r = 1,01 r_s zegar chodzi 10 razy wolniej niż w nieskończoności. Przy r = r_s odległy obserwator widzi, jak spadające zegary zatrzymują się i ich częstotliwość przesuwa się ku czerwieni do zera; obserwator spadający przekracza horyzont w skończonym czasie własnym, bez żadnego lokalnego dramatu, dzięki rozróżnieniu między osobliwością współrzędnych a fizyczną.

Kosmologia FLRW i rozszerzający się wszechświat

W największej skali wszechświat jest jednorodny i izotropowy (zasada kosmologiczna). Najogólniejszą metryką zgodną z tą symetrią jest metryka Friedmanna-Lemaître'a-Robertsona-Walkera (FLRW):

Podstawienie do równań Einsteina dla płynu doskonałego T_μν daje równania Friedmanna:

Prawo Hubble'a v = H₀ d wyłania się w granicy liniowej ekspansji. Dla ΛCDM (Λ + zimna ciemna materia) czynnik skali podlega:

• Dominacja promieniowania (z > 3400): a ∝ t^1/2
• Dominacja materii (3400 > z > 0,3): a ∝ t^2/3
• Dominacja Λ (z < 0,3, dzisiaj): a ∝ e^H₀t (ekspansja wykładnicza)

Gęstość krytyczna ρ_c = 3H²/(8πG) definiuje Ω = ρ/ρ_c. Wyniki Plancka 2018: Ω_m ≈ 0,315 (materia, z czego ~84% to ciemna materia), Ω_r ≈ 9,1 × 10⁻⁵ (promieniowanie), Ω_Λ ≈ 0,685 (ciemna energia), Ω_total ≈ 1,000 (wszechświat płaski).

Promieniowanie reliktowe (CMB)

Około 380 000 lat po Wielkim Wybuchu wszechświat ochłodził się do ~3000 K: protony i elektrony połączyły się w neutralny wodór (rekombinacja), a wszechświat stał się przezroczysty. Fotony uwolnione w tym momencie obserwujemy dziś jako kosmiczne mikrofalowe promieniowanie tła (CMB), przesunięte ku czerwieni do T₀ = 2,725 K wskutek 1089-krotnej ekspansji.

Temperatura CMB jest izotropowa z dokładnością do jednej części na 10⁵, ale drobne anizotropie δT/T ~ 10⁻⁵ kodują bogatą fizykę. Przed rekombinacją plazma fotonowo-barionowa przechodziła oscylacje akustyczne: grawitacja ściskała bariony, ciśnienie promieniowania odpychało je z powrotem. Te oscylacje pozostawiły piki akustyczne w widmie mocy CMB C_ℓ przy multipolach ℓ ~ 200, 540, 800, … Położenia i wysokości pików bardzo dokładnie ograniczają parametry kosmologiczne.

CMB niesie też polaryzację: mod E pochodzący od zaburzeń skalarnych (mierzony przez Plancka, WMAP, ACT) oraz mod B pochodzący od pierwotnych fal grawitacyjnych przewidzianych przez inflację. Wykrycie modu B ograniczyłoby skalę energii inflacji i potwierdziłoby lub obaliło hipotezę inflacji.

Ciemna energia i przyspieszający wszechświat

W 1998 roku dwa niezależne przeglądy supernowych (Riess i in., Perlmutter i in.) wykazały, że supernowe typu Ia przy wysokim przesunięciu ku czerwieni są słabsze niż oczekiwano dla wszechświata zdominowanego przez materię — ekspansja przyspiesza. Za to odkrycie przyznano Nagrodę Nobla w 2011 roku. Najprostszym wyjaśnieniem jest einsteinowska stała kosmologiczna Λ, działająca jako stała gęstość energii ρ_Λ = Λc²/(8πG) z parametrem równania stanu w = p/ρ = −1.

Ograniczenia obserwacyjne łączą CMB, barionowe oscylacje akustyczne (BAO) i supernowe. Aktualne dopasowania dają w = −1,028 ± 0,032 (Planck + DES 2024), co jest zgodne z Λ, ale zostawia miejsce na kwintesencję (pole skalarne o zmiennym w czasie w). Fundamentalne napięcie: kwantowa teoria pola przewiduje gęstość energii próżni ~10¹²⁰ razy większą niż obserwowana — to problem stałej kosmologicznej, jeden z największych nierozwiązanych problemów fizyki.

Odkryj symulacje