Spotlight #36 – Fizyka plazmy i fuzja jądrowa: uwięzienie w tokamaku, kryterium Lawsona, stabilność MHD i ICF

Dziewięćdziesiąt dziewięć procent całej widzialnej materii we wszechświecie istnieje w stanie plazmy. Słońce syntetyzuje 620 milionów ton wodoru na sekundę, uwięzione dzięki grawitacji w rdzeniu o temperaturze 15 milionów K. Na Ziemi zarówno fuzja z magnetycznym uwięzieniem (MCF) w tokamakach, jak i inercyjna fuzja termojądrowa (ICF) dążą do odtworzenia tego procesu bez wsparcia grawitacji — jednego z najtrudniejszych wyzwań inżynierskich, jakich podjęła się ludzkość. Zrozumienie dlaczego wymaga podróży przez fizykę plazmy od podstaw.

1. Plazma: czwarty stan materii

Plazma to quasi-neutralny gaz naładowanych cząstek (elektronów i jonów) wykazujący zachowanie kolektywne. Trzy kryteria odróżniają plazmę od zwykłego zjonizowanego gazu:

Długość Debye'a (odległość ekranowania):
  λ_D = √(ε_0 k_B T_e / (n_e e²))
  Dla T_e = 10 keV, n_e = 10²&sup0; m−³: λ_D ≈ 74 μm

Kryteria plazmy:
  1. λ_D ≪ L  (rozmiar układu znacznie większy niż długość ekranowania)
  2. N_D = n_e · (4π/3) λ_D³ ≫ 1  (wiele elektronów w sferze Debye'a)
  3. ω_pe · τ ≫ 1  (okres oscylacji plazmowych krótszy niż czas między zderzeniami)

Częstość plazmowa (elektronowa):
  ω_pe = √(n_e e² / (ε_0 m_e))
  Dla n_e = 10²&sup0; m−³: ω_pe ≈ 5,6 × 10¹¹ rad/s  (zakres mikrofalowy)

Częstości cyklotronowe:
  Ω_ce = eB / m_e   (elektronowa)
  Ω_ci = eB / m_i   (jonowa)   Ω_ci ≈ Ω_ce / 1836  (proton)
          

Długość Debye'a to długość ekranowania, na jakiej pola elektryczne są tłumione przez redystrybucję swobodnych ładunków. Poza λ_D plazma wygląda na elektrycznie neutralną. To zbiorowe ekranowanie sprawia, że plazma jakościowo różni się od słabo zjonizowanego gazu i daje początek bogatym zjawiskom falowym opisanym w rozdziale 5.

2. Magnetyczne uwięzienie w tokamaku

Tokamak (z rosyjskiego: тороїдальна камера з магнітними котушками — komora toroidalna z cewkami magnetycznymi) uwięzia plazmę w torusie, łącząc silne pole magnetyczne toroidalne B_φ generowane przez zewnętrzne cewki ze słabszym polem poloidalnym B_θ wytwarzanym przez duży prąd płynący w plazmie. Powstałe śrubowe linie pola owijają się wokół torusa, nigdy nie stykając się ze ścianą.

Geometria tokamaka:
  R = promień większy (od osi do środka torusa)
  a = promień mniejszy (promień przekroju poprzecznego)
  Stosunek aspektu: A = R/a   (ITER: R = 6,2 m, a = 2,0 m, A = 3,1)

Współczynnik bezpieczeństwa q (skręcenie linii pola):
  q = r B_φ / (R B_θ) ≈ rB_T / (RB_P)
  Warunek stabilności Kruskala-Shafranova: q ≥ 1 wszędzie
  q_95 ≈ 3 dla punktu projektowego ITER

Prąd toroidalny: I_P ≈ 15 MA  (wartość nominalna ITER)

Transport neoklasyczny (z orbit typu „banan"):
  D_⊥_neo ~ (q/ε)^(3/2) ρ_i² v_thi / λ_mfp²
  Dyfuzja anomalna typu Bohma: D_Bohm = k_BT / (16eB)
  Dominuje transport anomalny; rzeczywisty czas uwięzienia τ_E ≈ 1–3 s (projekt ITER)

Przejście L-H (tryb H):
  Przy mocy wejściowej P_th ~ B_T n_e^0,7 R^2: tworzy się bariera transportowa na brzegu
  Pedestal: strome gradienty gęstości/temperatury
  ELM (mod zlokalizowany na brzegu): okresowe załamania pedestalu, obciążenia cieplne
          

Dryfy cząstek w zakrzywionym, niejednorodnym polu tokamaka — dryf grad-B, dryf krzywiznowy i dryf E×B — powodowałyby, że plazma dryfowałaby na zewnątrz i uderzała w ścianę w ciągu mikrosekund, gdyby pole było czysto toroidalne. Skręcenie zapewniane przez pole poloidalne uśrednia te dryfy na każdej orbicie, utrzymując uwięzienie. Cząstki poruszające się wzdłuż śrubowych linii pola zakreślają na przekroju poloidalnym „orbity bananowe"; ich dyfuzja zderzeniowa daje oszacowanie transportu neoklasycznego.

3. Kryterium Lawsona

Fuzja deuteru i trytu (D-T) uwalnia 17,6 MeV na reakcję, głównie w postaci neutronu o energii 14,1 MeV i cząstki alfa o energii 3,5 MeV. Cząstka alfa pozostaje uwięziona i ogrzewa plazmę; neutron ucieka, a jego energia jest odzyskiwana jako ciepło. Aby reaktor fuzyjny produkował więcej energii, niż zużywa (zapłon), ogrzewanie plazmy przez cząstki alfa musi przewyższyć wszystkie kanały strat energii.

Reakcja fuzji D-T:
  D + T → &sup4;He (3,5 MeV) + n (14,1 MeV)
  Szczytowa reaktywność przy T ≈ 70 keV; ⟨σv⟩_max ≈ 3,7 × 10−²² m³/s  (przy ~65 keV)

Bilans mocy (warunek zapłonu):
  P_α = n_D n_T ⟨σv⟩ E_α / 4   (ogrzewanie cząstkami alfa)
  P_loss = 3 n k_B T / τ_E   (bremsstrahlung + przewodnictwo)

Kryterium Lawsona (punkt zapłonu dla D-T):
  n τ_E ≥ 1,5 × 10²&sup0; m−³ s   (przy T ≈ 25 keV)

Potrójny iloczyn fuzyjny (Lawson + temperatura):
  n T τ_E ≥ 3 × 10²¹ m−³ keV s

Cele projektowe ITER:
  n ≈ 10²&sup0; m−³,  T ≈ 15 keV,  τ_E ≈ 3,7 s
  Q = P_fuzja / P_wejście = 10  (10-krotne wzmocnienie energii)

Aktualny rekord (JET, 2022): Q ≈ 0,33
Zapłon NIF (2022): Q_cel = 1,5  (→ energia fuzji > energia lasera dostarczona do kapsuły)
          

4. Stabilność MHD

Magnetohydrodynamika (MHD) traktuje plazmę jako płyn przewodzący. Idealne równania MHD łączą równania Maxwella z równaniem pędu płynu, przy warunku „zamrożonego" strumienia. Niestabilności MHD mogą wyrzucić gorącą plazmę z obszaru uwięzienia w ciągu mikrosekund, jeśli nie zostaną powstrzymane.

Równanie pędu idealnego MHD:
  ρ dv/dt = J × B − ∇p   (siła Lorentza + gradient ciśnienia)

Zamrożony strumień (Alfvén, 1942):
  ∂B/∂t = ∇ × (v × B)
  Linie pola poruszają się wraz z plazmą; oporność przełamuje ten warunek (mody tearing)

Niestabilność kink (m=1):
  Kryterium (Kruskal-Shafranov): q < 1 niestabilne
  Długofalowa, napędzana prądem; wygina cały słup plazmy

Niestabilność sausage (m=0):
  Zwężenie słupa plazmy; stabilna, jeśli B_φ² > B_θ²/2

Mod tearing (oporowe MHD):
  Rekonektuje linie pola na powierzchniach wymiernych q = m/n
  Tempo wzrostu: γ ~ (k_⊥ v_A)^(3/5) (η/μ_0)^(2/5) r_s^(−2/5)
  Wyspy odłączonego strumienia; mogą się „zablokować" na ścianie → dyzrupcja

ELM-y (mody zlokalizowane na brzegu):
  Niestabilność peeling-ballooning w pedestalu trybu H
  ELM-y typu I: ΔW_ELM ≈ 1–20 MJ rzucane na diwertor
  Łagodzenie w ITER: wstrzykiwanie pelletów, rezonansowe perturbacje magnetyczne
          

5. Fale plazmowe

Ponieważ plazma jest zarazem elektromagnetyczna i hydrodynamiczna, wspiera bogaty zestaw modów falowych, których nie ma w zwykłych gazach. Wiele z nich wykorzystuje się do ogrzewania: rezonansowe ogrzewanie jonowo-cyklotronowe (ICRH), rezonansowe ogrzewanie elektronowo-cyklotronowe (ECRH) oraz napęd prądu w zakresie dolnej hybrydy stosuje się w tokamakach.

Fala Alfvéna (fala MHD propagująca się wzdłuż B):
  v_A = B / √(μ_0 ρ)
  Dla B = 5 T, n = 10²&sup0; m−³ (D): v_A ≈ 1,1 × 10&sup7; m/s ≈ 4% c

Alfvén ścinająca: ω = k_∥ v_A  (poprzeczna oscylacja linii pola)
Alfvén kompresyjna: ω² = k² v_A²  (szybka magnetosoniczna, izotropowa)

Fala świszcząca (spolaryzowana kołowo prawoskrętnie, f < f_ce):
  Propaguje się wzdłuż B; prędkość grupowa v_g ∝ √f
  Wysokie częstości docierają wcześniej → zdyspergowany „świst" w jonosferze

Rezonanse hybrydowe górny/dolny:
  ω_UH² = ω_pe² + Ω_ce²   (warstwa ogrzewania ECRH)
  ω_LH² = Ω_ci Ω_ce · (ω_pi² + Ω_ci²) / (ω_pi² + ω_pe² + Ω_ci²)

Ogrzewanie ICRH:
  ω = Ω_ci = eB/m_i   (rezonans cyklotronowy jonów)
  Ogrzewanie gatunku mniejszościowego: H jako domieszka w plazmie D pochłania moc
  Sprzężona moc: P ≈ 10–20 MW na system anten w ITER
          

6. Inercyjna fuzja termojądrowa

Inercyjna fuzja termojądrowa (ICF) wykorzystuje intensywne impulsy laserowe (lub promieniowanie rentgenowskie z laserowego „hohlraumu") do ablacji zewnętrznej powłoki milimetrowej kapsuły paliwowej. Reakcja odrzutowa kompresuje paliwo D-T do gęstości tysiące razy większych niż gęstość ciała stałego, jednocześnie uderzeniowo ogrzewając centralny „gorący punkt" do temperatur fuzyjnych. Plazma jest uwięziona inercyjnie — przez własną masę — przez nanosekundy, zanim się rozpadnie.

Wymagania napędu ICF (napęd pośredni):
  Temperatura promieniowania rentgenowskiego hohlraumu: T_r ≈ 300 eV
  Energia lasera: E_L ≈ 2,05 MJ (NIF, 192 wiązki, 351 nm)
  Energia pochłonięta przez kapsułę: ~150 kJ

Kompresja:
  Współczynnik zbieżności CR = R_początkowe / R_końcowe ≈ 35
  Gęstość końcowa: ρ ≈ 1000 g/cm³  (≈ 400× ciała stałego DT)
  Temperatura gorącego punktu: T_hs ≈ 10 keV (100 milionów K)

Warunek zapłonu (gorący punkt):
  ρR_hs ≥ 0,3 g/cm²   (parametr uwięzienia)

Niestabilność Rayleigha-Taylora (główny czynnik ograniczający):
  Narasta na froncie ablacji: γ = √(A_t k g), gdzie A_t = liczba Atwooda
  Wymaga chropowatości powierzchni < 50 nm RMS na kapsule

Kamień milowy zapłonu NIF (grudzień 2022):
  Energia lasera na wejściu: 2,05 MJ
  Energia fuzji na wyjściu: 3,15 MJ   (Q = 1,54 → zapłon naukowy)
  Czas uwięzienia: τ ≈ 100 ps
  Pierwszy w historii laboratoryjny zapłon termojądrowy
          

Wypróbuj te symulacje