Wymagania wstępne: rachunek różniczkowy (gradienty, dywergencja), podstawy termodynamiki (ciśnienie, temperatura), mechanika klasyczna (druga zasada dynamiki Newtona). Ten wpis naturalnie nawiązuje do Nauki #35 (Elektromagnetyzm i równania Maxwella) — wiele struktur matematycznych (pola wektorowe, strumień, teoria potencjału) przenosi się bezpośrednio.
Hipoteza continuum i właściwości płynów
W skalach makroskopowych (skale długości ≫ odległości międzycząsteczkowe ∼ 0,3 nm) płyn można traktować jako ośrodek ciągły, charakteryzowany przez wielkości polowe: gęstość ρ(r,t), prędkość u(r,t), ciśnienie p(r,t) i temperaturę T(r,t). To hipoteza continuum, słuszna gdy liczba Knudsena Kn = λ/L ≪ 1 (λ = średnia droga swobodna, L = charakterystyczna długość przepływu).
Lepkość dynamiczna μ określa ilościowo opór płynu wobec ścinania. Płyny newtonowskie (woda, powietrze, większość prostych cieczy) spełniają prawo lepkości Newtona: naprężenie ścinające jest proporcjonalne do prędkości ścinania.
τ = naprężenie ścinające [Pa] μ = lepkość dynamiczna [Pa·s]
&partial;u/&partial;y = gradient prędkości prostopadły do przepływu
Lepkość kinematyczna: ν = μ/ρ [m²/s]
Woda w 20°C: μ ≈ 1,0 × 10-3 Pa·s
Powietrze w 20°C: μ ≈ 1,8 × 10-5 Pa·s
Płyny nienewtonowskie (krew, stopione polimery, ketchup) mają lepkość zależną od prędkości ścinania. Płyny ścinająco rozrzedzane (pseudoplastyczne) stają się mniej lepkie przy wysokim ścinaniu. Płyny ścinająco zagęszczane (dylatancyjne) stają się bardziej lepkie. Plastyki Binghama wymagają przekroczenia naprężenia uplastyczniającego, zanim w ogóle zaczną płynąć.
Równanie ciągłości i zachowanie masy
Masa nie może zostać stworzona ani zniszczona. W postaci różniczkowej daje to równanie ciągłości:
Przepływ nieściśliwy (ρ = const):
∇·u = 0 (bezdywergencyjne pole prędkości)
Strumień masy przez powierzchnię: ˙m = ∫∫ ρu·n dA
Postać całkowa: d/dt ∫∫∫ ρ dV + ∮ ρu·dA = 0
Warunek nieściśliwości ∇·u = 0 znacznie upraszcza równania ruchu i jest doskonałym przybliżeniem dla cieczy oraz przepływów gazów o liczbie Macha Ma < 0,3.
Równania Naviera-Stokesa i zachowanie pędu
Zastosowanie drugiej zasady dynamiki Newtona do porcji płynu w granicy continuum — uwzględniające gradienty ciśnienia, naprężenia lepkie i siły masowe — daje równania Naviera-Stokesa. Dla przepływu nieściśliwego:
Lewa strona: człony bezwładnościowe (szybkość zmiany + przyspieszenie konwekcyjne)
−∇p : siła gradientu ciśnienia
μ∇²u : lepka dyfuzja pędu
ρg : siła masowa (grawitacja; może obejmować siłę Coriolisa itd.)
To zestaw 3 równań (składowe x, y, z) + 1 równanie ciągłości, dający 4 równania dla 4 niewiadomych (u, v, w, p).
Rozwiązanie równań Naviera-Stokesa w pełnej ogólności to jeden z Problemów Milenijnych w matematyce — istnienie i gładkość rozwiązań w 3D nie zostały dowiedzione. W praktyce inżynierowie używają DNS (bezpośrednia symulacja numeryczna), RANS (uśrednione po Reynoldsie) lub LES (symulacja dużych wirów) przy różnych skalach rozdzielczości.
Symulator konwekcji Bénarda rozwiązuje 2D równania Naviera-Stokesa Boussinesqa z członem wyporności. Obserwuj, jak komórki konwekcyjne samoorganizują się, gdy liczba Rayleigha Ra przekracza wartość krytyczną 1708.
Liczba Reynoldsa i przejście laminarne-turbulentne
Liczba Reynoldsa Re to najważniejsza grupa bezwymiarowa w mechanice płynów. To stosunek sił bezwładnościowych do sił lepkich:
U = charakterystyczna prędkość L = charakterystyczna skala długości
Re < ~2300: laminarny przepływ rurowy (równoległe linie prądu, Re<∼1 dla przepływu pełzającego)
2300 < Re < 4000: przejściowy (przerywana turbulencja)
Re > ~4000: turbulentny przepływ rurowy (chaotyczne mieszanie, kaskada wirów)
Przejście warstwy przyściennej na płaskiej płycie: Rex ≈ 5×105
Turbulencja obejmuje kaskadę energii kinetycznej od dużych wirów (wprowadzanych w skali L przez ścinanie przepływu średniego) aż po małe wiry Kołmogorowa (skala η = (ν³/ε)1/4), gdzie lepkość rozprasza energię jako ciepło. Stosunek L/η skaluje się jak Re3/4, dlatego DNS przepływów o wysokim Re jest obliczeniowo miażdżące.
Równanie Bernoulliego
Dla przepływu ustalonego, nieściśliwego, nielepkiego wzdłuż linii prądu równania Naviera-Stokesa redukują się do równania Bernoulliego:
p = ciśnienie statyczne ½ρu² = ciśnienie dynamiczne
ρgz = ciśnienie hydrostatyczne ptotal = p + ½ρu² = ciśnienie spiętrzenia
Efekt Venturiego: A1u1 = A2u2 (ciągłość)
⇒ p1 − p2 = ½ρ(u2² − u1²)
Równanie Bernoulliego wyjaśnia siłę nośną samolotu (różnica ciśnień między górną a dolną powierzchnią skrzydła), działanie gaźników, przeciągnięcie profilu lotniczego oraz efekt Coandă. Zawodzi tam, gdzie ważna jest lepkość (warstwy przyścienne, tarcie w rurach) lub gdzie występuje istotna niestacjonarność przepływu.
Symulator profilu lotniczego oblicza przepływ potencjalny wokół symetrycznego lub wygiętego profilu za pomocą odwzorowania konforemnego (transformata Żukowskiego), wykreślając rozkład ciśnienia i współczynnik siły nośnej CL jako funkcję kąta natarcia.
Prawo Darcy'ego i przepływ w ośrodkach porowatych
Przy małych liczbach Reynoldsa (Re < 1 na podstawie rozmiaru ziarna) lepkość całkowicie dominuje nad siłami bezwładności. Przepływ przez ośrodki porowate (piasek, żwir, skała) w tych warunkach podlega empirycznemu prawu Darcy'ego (1856):
q = −K ∇h (przepływ nasycony, K wchłania μ i ρg)
q = strumień Darcy'ego (wydajność jednostkowa, m/s)
K = przewodność hydrauliczna (m/s) h = wysokość hydrauliczna (m)
Średnia prędkość porowa: v = q / n n = porowatość
Przepuszczalność właściwa: k = Kμ/(ρg) [m²]
Wysokość hydrauliczna h = z + p/(ρg) łączy wysokość położenia i wysokość ciśnieniową. Przepływ zawsze biegnie od wysokiej do niskiej wysokości hydraulicznej, niezależnie od tego, czy odpowiada to wysokiemu czy niskiemu położeniu. Przewodność hydrauliczna K obejmuje 13 rzędów wielkości: od 10-13 m/s w litym granicie do 100 m/s w grubym żwirze.
Równania przepływu wód gruntowych
Połączenie prawa Darcy'ego z równaniem ciągłości daje równanie przepływu wód gruntowych:
Ss = magazynowanie właściwe (m-1)
K = tensor przewodności hydraulicznej (m/s)
Q = człon źródła/ujścia (odwierty pompujące, zasilanie)
Stan ustalony: ∇·(K ∇h) = 0 (równanie Laplace'a przy jednorodnym K)
Depresja odwiertu pompującego Dupuita-Theisa:
s(r,t) = (Q/4πT) · W(u) u = r²S/(4Tt)
T = transmisyjność hydrauliczna = K ċ b b = miąższość warstwy wodonośnej
W(u) = −Ei(−u) = funkcja studni Theisa
Rozwiązanie Theisa zakłada jednorodną, izotropową, nieskończoną warstwę wodonośną naporową. Rzeczywiste warstwy wodonośne wykazują anizotropię (Kx ≠ Ky), niejednorodność, warunki bezciśnieniowe (swobodne zwierciadło przemieszcza się wraz z pompowaniem) i złożone warunki brzegowe. Modele numeryczne (MODFLOW, FEFLOW) są używane do praktycznego projektowania pól ujęć.
Symulator przepływu wód gruntowych rozwiązuje 2D równanie przepływu wód gruntowych w stanie ustalonym na siatce 100×60, korzystając z metody sukcesywnej nadrelaksacji. Wstrzykuj odwierty pompujące lub zasilające, dostosuj strefy przewodności hydraulicznej i obserwuj aktualizujące się w czasie rzeczywistym izolinie wysokości hydraulicznej i strzałki strumienia Darcy'ego.
Adwekcja-dyfuzja i liczba Pécleta
Znając pole prędkości, możemy obliczyć, jak rozprzestrzenia się rozpuszczone zanieczyszczenie lub znacznik. Transportem rządzą dwa konkurujące procesy:
- Adwekcja: transport przez średnią prędkość przepływu (kierunkowa, zachowuje masę).
- Dyfuzja/dyspersja: rozprzestrzenianie przez dyfuzję molekularną + dyspersję mechaniczną wynikającą ze zmienności prędkości w skali porów.
C = stężenie D = tensor dyspersji R = człon reakcji
Liczba Pécleta: Pe = uL/D
Pe ≪ 1: dominuje dyfuzja (rozprzestrzenianie izotropowe)
Pe ≫ 1: dominuje adwekcja (ostre fronty)
Krzywa przebicia 1D (rozpuszczona substancja docierająca na głębokość L):
C(t)/C0 = ½ erfc[(L/v − t)/(2√(Dt/v²L0))]
Dyspersja mechaniczna Dm = αL v (dyspersyjność podłużna αL ∼ 0,1–100 m w zależności od skali niejednorodności). W remediacji warstw wodonośnych modelowanie adwekcyjno-dyfuzyjne przewiduje zasięg smugi zanieczyszczeń i skuteczność metody pompuj-i-oczyszczaj.
Teoria warstwy przyściennej i przepływy wewnętrzne
W pobliżu powierzchni stałej lepkość ma znaczenie nawet przy wysokim Re: warstwa przyścienna to cienki region, w którym przepływ przechodzi od zerowej prędkości przy ścianie (warunek zerowego poślizgu) do prędkości swobodnego strumienia U∞. Grubość warstwy przyściennej δ narasta wzdłuż płyty:
δ/x ≈ 5,0 / √Rex Rex = U∞x/ν
Współczynnik oporu: CD = 1,328 / √ReL (laminarny)
CD ≈ 0,074 ReL-1/5 (turbulentny, ReL do 107)
Tarcie powierzchniowe: τw = μ (&partial;u/&partial;y)|y=0 = 0,332 μ U∞ √(U∞/(νx))
Hagen-Poiseuille (laminarny przepływ rurowy, Re < 2300):
Q = πR4Δp / (8μL) u(r) = (R²−r²)Δp/(4μL) (profil paraboliczny)
Wynik Hagena-Poiseuille'a pokazuje, że opór przepływu skaluje się jak R4 — zmniejszenie promienia rury o połowę zwiększa opór 16-krotnie. Ma to głębokie implikacje dla przepływu krwi w układzie sercowo-naczyniowym: małe tętniczki wnoszą większość całkowitego oporu naczyniowego, mimo że niosą niewielką część całkowitej objętości.
Symulator przepływu krwi wizualizuje przepływ Hagena-Poiseuille'a w sieci naczyń. Dostosuj średnicę naczyń, by zobaczyć, jak opór i natężenia przepływu równoważą się na nowo w całej sieci. Zawiera efekt Fahraeusa-Lindqvista dla marginalizacji krwinek czerwonych.
Łączenie pojęć
Wątki mechaniki płynów łączą się w całej platformie:
- Konwekcja Bénarda — konwekcja naturalna napędzana wypornością; niestabilność Rayleigha-Bénarda; wałki i komórki heksagonalne
- Profil lotniczy — siła nośna Bernoulliego; przepływ potencjalny; transformata Żukowskiego; przeciągnięcie
- Przepływ wód gruntowych — przepływ Darcy'ego; symulacja warstwy wodonośnej; depresja odwiertu pompującego
- Przepływ krwi — Hagen-Poiseuille; opór naczyniowy; Fahraeus-Lindqvist
- Fale w wannie — równania płytkiej wody; powierzchniowe fale grawitacyjne; dyspersja
- Krążenie termohalinowe — prądy oceaniczne napędzane gęstością; AMOC; konwekcja podwójno-dyfuzyjna
Podsumowanie: kluczowe grupy bezwymiarowe
Liczby bezwymiarowe mechaniki płynów
Re = UL/ν — Reynolds: bezwładność/lepkość; laminarny vs turbulentnyFr = U/√(gL) — Froude: bezwładność/grawitacja; podkrytyczny vs nadkrytyczny
Ma = U/c — Mach: prędkość przepływu/prędkość dźwięku; ściśliwość
Pe = UL/D — Péclet: adwekcja/dyfuzja; ostre vs rozmyte fronty
Pr = ν/κ — Prandtl: dyfuzyjność pędu/termiczna
Ra = gβΔTL³/(νκ) — Rayleigh: wyporność/lepko-dyfuzyjne; początek konwekcji
Kn = λ/L — Knudsen: granica reżimu molekularnego/continuum