Nauka #30 – Statystyczna teoria pola: od modelu Isinga do renormalizacji i połączeń z uczeniem głębokim

Centralną obserwacją statystycznej teorii pola jest to, że zachowanie krytyczne układów wieloczłonowych nie jest rządzone szczegółami mikroskopowymi, lecz symetrią i wymiarowością. Magnes w pobliżu punktu Curie, ciecz w pobliżu punktu krytycznego ciecz-gaz oraz sieć perkolacyjna mają ten sam zestaw wykładników krytycznych, ponieważ należą do tej samej klasy uniwersalności. Narzędzie, które to precyzuje — grupa renormalizacji — jest jedną z najpiękniejszych konstrukcji fizyki teoretycznej i pojawia się dziś w nieoczekiwanej formie wewnątrz nowoczesnych architektur uczenia maszynowego.

1. Od mechaniki statystycznej do teorii pola

Model Isinga jest kanonicznym punktem wyjścia. Pierwotnie zaproponowany przez Lenza (1920) i rozwiązany przez Isinga (1925) w 1D (brak przejścia fazowego) oraz przez Onsagera (1944) w 2D (rozwiązanie ścisłe), model destyluje konkurencję między uporządkowaniem ferromagnetycznym a nieporządkiem termicznym do najprostszego możliwego hamiltonianu.

Hamiltonian Isinga:
  H = −J Σ_{} σᵢσⱼ − h Σᵢ σᵢ
  σᵢ ∈ {−1, +1}; J > 0 (ferromagnetyczny); h = pole zewnętrzne
  Z = Σ_{σ} exp(−βH) przy β = 1/(k_B T)

Przybliżenie pola średniego:
  Zastąp σⱼ → ⟨m⟩ (średnia magnetyzacja), każdy węzeł ma z sąsiadów:
  H_eff = −(zJ⟨m⟩ + h) Σᵢ σᵢ
  Samouzgodnienie: ⟨m⟩ = tanh[β(zJ⟨m⟩ + h)]
  Temperatura krytyczna: k_B T_c = zJ
  W pobliżu T_c: ⟨m⟩ ≈ ±√(3(T_c−T)/T_c)   (h = 0, T < T_c)
  Poniżej T_c: symetria Z₂ (σ → −σ) spontanicznie złamana

Funkcjonał energii swobodnej Landaua-Ginzburga (LG):
  F[φ] = ∫d^d x [½(∇φ)² + a(T)φ² + b φ⁴ + ...]
  φ(x): ciągłe pole parametru porządku (granica kontinuum ⟨σᵢ⟩)
  a(T) = a₀(T − T_c): zmienia znak w T_c
  Punkt siodłowy (pole średnie): δF/δφ = 0 → −∇²φ + 2aφ + 4bφ³ = 0
  Rozwiązanie jednorodne: φ = 0 (T > T_c); φ = ±√(−a/2b) (T < T_c)
  Potencjał "meksykańskiego kapelusza" dla T < T_c → zdegenerowane minima

Poza polem średnim — fluktuacje gaussowskie:
  F[φ] = ∫(d^d k)/(2π)^d [½k²|φ_k|² + a|φ_k|²]   (Fourier, część kwadratowa)
  Propagator: G(k) = ⟨φ_k φ_{-k}⟩ = 1/(k² + 2a)
  Długość korelacji: ξ = (2a)^{−½} ∝ |T − T_c|^{−½}  (pole średnie: ν = ½)
          

2. Całki po trajektoriach w teorii pola

Formalizm całki po trajektoriach Feynmana zastępuje sumę po dyskretnych mikrostanach całką po wszystkich konfiguracjach pola. Dla pola skalarnego φ(x) w d-wymiarowej przestrzeni euklidesowej suma statystyczna przyjmuje postać Z = ∫Dφ exp(−S[φ]), gdzie S to działanie euklidesowe. Ten formalizm jednoczy kwantową teorię pola z mechaniką statystyczną poprzez kontynuację analityczną: czas urojony τ = it odwzorowuje amplitudy kwantowe na statystyczne wagi Boltzmanna.

Euklidesowa suma statystyczna:
  Z = ∫Dφ exp(−S_E[φ]/ħ)
  S_E[φ] = ∫d^d x [½(∂_μ φ)² + V(φ)]   (dodatnio określona → dobrze postawiony problem)
  μ = 1..d; sumowanie po indeksach euklidesowych (brak minusów z metryki Minkowskiego)

Mechanika kwantowa w czasie urojonym:
  Całka po trajektoriach Minkowskiego: ⟨x_f|e^{−iHt/ħ}|x_i⟩ = ∫Dx exp(iS_M/ħ)
  Obrót Wicka t → −iτ:
    e^{−iHt/ħ} → e^{−Hτ/ħ}   (waga Boltzmanna!)
  Termiczna suma statystyczna Z = Tr(e^{−βH}) = ∫Dx [okresowe w τ ∈ (0,ħβ)]
  Odpowiedniość: odwrotność temperatury β ↔ zasięg czasu euklidesowego ħβ

Gaussowska całka po trajektoriach (pole swobodne, V = ½m²φ²):
  Z_0 = ∫Dφ exp(−½∫φ(−∇² + m²)φ)
  = (det(−∇² + m²))^{−½}
  = exp(−½ Tr ln(−∇² + m²))
  Obliczone ściśle: Z_0 = exp(−½ Σ_k ln(k² + m²))
  Energia swobodna: F_0 = ½ Σ_k ln(k² + m²) = ½ (L/2π)^d ∫d^d k ln(k² + m²)

Rachunek zaburzeń (teoria φ⁴):
  S[φ] = ∫d^d x [½(∂φ)² + ½m²φ² + (λ/4!)φ⁴]
  Rozwiń exp(−S_int[φ]) w potęgach λ → diagramy Feynmana
  4D φ⁴: renormalizowalna; kontrczłony δm², δZ, δλ pochłaniają rozbieżności UV
  Górny wymiar krytyczny d_c = 4 (powyżej d_c: wykładniki pola średniego są ścisłe)
          

3. Grupa renormalizacji

Grupa renormalizacji (RG) Wilsona to ramy pozwalające zrozumieć, jak opis fizyczny zmienia się wraz ze skalą, w której obserwujemy układ. Kluczowa obserwacja jest taka, że w pobliżu punktu krytycznego fizyka staje się niezmiennicza względem skali — długość korelacji rozbiega się, a układ wygląda tak samo na wszystkich skalach długości. Punkty stałe przepływu RG odpowiadają właśnie takim teoriom niezmienniczym względem skali.

Konstrukcja blokowania spinów Kadanoffa (d=2, model Isinga):
  Podziel sieć na bloki L węzłów; zastąp blok pojedynczym efektywnym spinem
  Efektywny hamiltonian H'(σ') w skali bL → powtórz → przepływ RG w przestrzeni sprzężeń

RG powłoki pędowej (Wilson 1971):
  Rozkład na mody: φ(k) = φ_< (|k|<Λ/b) + φ_> (Λ/b<|k|<Λ)
  Krok 1 — wycałkuj szybkie mody φ_>: ∫Dφ_> e^{−S[φ_<,φ_>]}
  Krok 2 — przeskaluj: k → bk, φ_< → b^{d/2−1+η/2} φ  (przeskalowanie pola)
  Wynik: nowe działanie efektywne S'[φ'_<] ze zmienionymi sprzężeniami

Równania przepływu RG (teoria φ⁴ blisko d=4):
  da/dl = 2a + c₁ λ   (l = ln b)
  dλ/dl = (4−d)λ − c₂ λ²
  Punkt stały Wilsona-Fishera: λ* = (4−d)/c₂ + O(ε²)  (ε = 4−d)
  d=3: ε=1 → punkt Wilsona-Fishera leży między gaussowskim (λ=0) a nietrywialnym

Punkty stałe i skalowanie:
  Gaussowski: a*=0, λ*=0   (pole swobodne, wykładniki pola średniego ścisłe dla d>4)
  Wilsona-Fishera: rządzi punktem krytycznym 3D modelu Isinga
  W punkcie stałym H*: operatory skalujące O_i o wymiarach Δᵢ
    Relewantne: Δᵢ < d → rosną pod działaniem RG → oddalają się od punktu stałego
    Irrelewantne: Δᵢ > d → dążą do zera → "zacierają" szczegóły mikroskopowe → uniwersalność
    Marginalne: Δᵢ = d → przepływ zdeterminowany przez wyrazy wyższego rzędu

Operatory w punkcie stałym Wilsona-Fishera dla 3D modelu Isinga:
  φ² (deformacja temperaturowa): relewantny, Δ = 1/ν⁻¹ = 1/0,629 ≈ 1,587
  φ   (deformacja pola): relewantny, Δ = 2 − β/ν ≈ 1,518
  Wszystkie operatory Z₂-parzyste o wyższych wymiarach: irrelewantne → uniwersalność
          

4. Wykładniki krytyczne i klasy uniwersalności

Uniwersalność to empiryczna obserwacja, że układy o różnej strukturze mikroskopowej wykazują identyczne zachowanie potęgowe w miarę zbliżania się do punktu krytycznego. Zestaw wykładników krytycznych (α, β, γ, δ, ν, η) charakteryzuje klasę uniwersalności, która zależy wyłącznie od wymiarowości przestrzeni i symetrii parametru porządku.

Definicje (t = (T−T_c)/T_c, h = pole zewnętrzne):
  ξ ~ |t|^{−ν}                (długość korelacji)
  C_h ~ |t|^{−α}              (ciepło właściwe)
  ⟨m⟩ ~ |t|^β   (t < 0)       (parametr porządku)
  χ = ∂m/∂h ~ |t|^{−γ}        (podatność)
  ⟨m(h)⟩ ~ h^{1/δ} (t = 0)    (równanie stanu)
  G(r) ~ r^{−(d−2+η)} exp(−r/ξ) (funkcja korelacji)

Relacje skalowania (wynikają z istnienia jednej rozbiegającej się skali długości ξ):
  α + 2β + γ = 2            (Rushbrooke'a, wynika ze skalowania)
  γ = ν(2−η)                (Fishera; ν i η są niezależne)
  dν = 2−α                  (hiperskalowanie; obowiązuje dla d ≤ d_c)
  δ = (d+2−η)/(d−2+η)      (Widoma + Fishera)
  Do wyznaczenia wszystkich 6 wykładników wystarczą tylko 2 niezależne

Wartości wykładników:
  Klasa uniwersalności    d   (ν,     β,    γ,    α,     η   )
  Pole średnie           dow. (0,50, 0,50, 1,00, 0,     0    )  [d > 4]
  2D Ising                2  (1,00, 0,125, 1,75, 0,    0,25  )  [ścisłe]
  3D Ising                3  (0,629,0,326, 1,237,0,110, 0,036) [bootstrap konforemny]
  3D Heisenberg           3  (0,711,0,366, 1,397,−0,133,0,035)
  3D XY (punkt lambda)    3  (0,671,0,348, 1,316,−0,014,0,038)

Przykłady równoważnych układów krytycznych:
  Klasa 3D Isinga: magnesy jednoosiowe, punkt krytyczny ciecz-gaz, stopy binarne
  Klasa 3D XY:    nadciekły He⁴ (punkt lambda przy 2,17 K), nadprzewodniki
  Perkolacja:    własna klasa; ν=0,876, β=0,417 (3D)

Rozwiązanie ścisłe 2D (Onsager 1944):
  k_B T_c = 2J/ln(1+√2) ≈ 2,269 J
  C ∝ −ln|t| (rozbieżność logarytmiczna → α = 0 ściśle)
  ⟨m⟩ = (1 − sinh^{−4}(2βJ))^{1/8} → β = 1/8
          

5. Konforemna teoria pola w dwóch wymiarach

W punkcie krytycznym symetria rotacyjna i translacyjna wzmacniają się do pełnej grupy konforemnej, obejmującej lokalne przekształcenia zachowujące kąty. W dwóch wymiarach grupa konforemna jest nieskończenie wymiarowa, co czyni 2D CFT teorią niemal w pełni rozwiązywalną. Tę siłę wykorzystali Bielawin, Polakow i Zamołodczikow (BPZ) w 1984 roku, klasyfikując dwuwymiarowe modele krytyczne za pomocą ładunku centralnego c i zawartości operatorowej.

Przekształcenia konforemne (w R^d):
  Zachowują kąty: g_μν(x) → Ω(x) g_μν(x)
  d ≥ 3: skończenie wymiarowa grupa SO(d+1,1) o (d+2)(d+1)/2 generatorach
  d = 2: lokalne odwzorowania konforemne = funkcje analityczne z → f(z) na ℂ
         Nieskończenie wymiarowa; generatory L_n, n ∈ ℤ

Algebra Wirasoro (2D CFT):
  [L_m, L_n] = (m−n)L_{m+n} + (c/12) m(m²−1) δ_{m+n,0}
  c = ładunek centralny: charakteryzuje CFT
  L_{−1}, L_0, L_1: generują globalną podgrupę SL(2,ℂ)
  L_0: generator dylatacji → wartość własna h = waga konforemna operatora
  Stan najwyższej wagi Wirasoro |h⟩: L_0|h⟩ = h|h⟩, L_n|h⟩ = 0 (n > 0)

Operatory pierwotne i OPE:
  T(z)O(w,w̄) = (h/(z−w)²)O(w,w̄) + (1/(z−w))∂O(w,w̄) + regularne
  Rozwinięcie iloczynu operatorowego (OPE):
    Oᵢ(z)Oⱼ(0) = Σ_k C_{ij}^k |z|^{2(Δ_k−Δᵢ−Δⱼ)} O_k(0)
    C_{ij}^k = współczynniki OPE (wyznaczają wszystkie funkcje n-punktowe)

Modele minimalne M(p,q) — unitarne dla p>q>1, gcd(p,q)=1:
  c = 1 − 6(p−q)²/(pq)
  Wymiary operatorów pierwotnych:
    h_{r,s} = [(pr−qs)² − (p−q)²] / (4pq)    (1 ≤ r ≤ q−1, 1 ≤ s ≤ p−1)

Fizycznie zrealizowane modele minimalne:
  M(3,4): c=1/2, model Isinga (h=0, 1/16, 1/2 dla operatorów I, σ, ε)
  M(4,5): c=7/10, trikrytyczny model Isinga (magnetyzacja, trikrytyczność)
  M(5,6): c=6/7, trikrytyczny model Pottsa z 3 stanami

Odpowiedniość stan-operator:
  Każdy operator O w CFT odpowiada stanowi |O⟩ w przestrzeni Hilberta na S^1
  Suma statystyczna na torusie: Z = Tr q^{L_0−c/24} q̄^{L̄_0−c/24}  (q = e^{2πiτ})
  Niezmienniczość modularna → ograniczenia na widmo (formuła Verlinde'a dla fuzji)
          

6. Związki z uczeniem maszynowym

W ostatniej dekadzie badacze odkryli, że wiele architektur uczenia głębokiego, u samych matematycznych podstaw, to instancje układów mechaniki statystycznej. Maszyna Boltzmanna to model Isinga w temperaturze T. Generatywne modele dyfuzyjne to dyskretne, stochastyczne równania Langevina uruchamiane wstecz. Modele oparte na funkcji score rozwiązują odwrócone w czasie równanie stochastyczne Andersona. Te odpowiedniości nie są jedynie estetyczne — dają praktyczne algorytmy dzięki fizycznym intuicjom, takim jak dywergencja kontrastowa, wyżarzanie i dopasowywanie score'u (score matching).

Maszyna Boltzmanna:
  Energia: E(v, h) = −Σ_{ij} W_{ij} vᵢhⱼ − Σᵢ bᵢvᵢ − Σⱼ cⱼhⱼ
  Suma statystyczna: Z = Σ_{v,h} exp(−E/T)   → dokładnie model Isinga z jednostkami ukrytymi
  Cel uczenia: maksymalizuj log P(v) = log Σ_h exp(−E/T) − log Z
  ∇_θ log P(v) = −⟨∂E/∂θ⟩_{dane} + ⟨∂E/∂θ⟩_{model}
  Dywergencja kontrastowa (Hinton 2002): przybliżenie wartości oczekiwanej modelu za pomocą k kroków Gibbsa

Restricted Boltzmann Machine (RBM):
  Brak połączeń v-v i h-h → rozwiązywalne w sposób jawny:
    P(v) = Σ_h e^{−E(v,h)}/Z = ∏ⱼ 2cosh(cⱼ + Σᵢ W_{ij}vᵢ) × e^{bᵢvᵢ} / Z_v
  Jednostki ukryte h wymarginalizowane analitycznie
  Związek z PCA: w granicy liniowej W^T W → rozkład na wartości osobliwe (SVD)

Modele dyfuzyjne oparte na score (Song i Ermon 2019):
  Proces w przód: q(xₜ|x_{t-1}) = N(xₜ; √(1−β_t)x_{t-1}, β_t I)  [dodawanie szumu]
  Proces wsteczny: p_θ(x_{t-1}|xₜ) = N(x_{t-1}; μ_θ(xₜ,t), Σₜ)  [neuronowy odszumiacz]
  Sieć score: s_θ(xₜ, t) ≈ ∇_{xₜ} log q(xₜ)     [score Steina]
  Fizyka: proces w przód = proces Ornsteina-Uhlenbecka; wsteczny = odwrócone w czasie SDE (Anderson 1982)
  Związek z Langevin MCMC: dx = −∇V(x)dt + √(2/β)dW   (cel ∝ e^{−βV})

Neuronowe jądro styczne (NTK) i procesy gaussowskie:
  Szeroka sieć neuronowa (szerokość → ∞): jądro K_{NTK}(x,x') = ∇θ f(x)·∇θ f(x')
  W tej granicy: sieć = proces gaussowski z jądrem K_NTK
  Związek z mechaniką statystyczną: teoria pola średniego dla sieci o nieskończonej szerokości
  Perspektywa RG: głębokość sieci = przepływ RG; aktywacje warstw ukrytych = blokowane spiny
    (Mehta i Schwab 2014: uczenie głębokie ↔ wariacyjna grupa renormalizacji)

Metoda replik i generalizacja:
  Teoria szkieł spinowych (RSB Parisiego): suma statystyczna replik
    Z^n = Σ_σ exp(−βH(σ^1)−...−βH(σ^n));  następnie ∂Z^n/∂n|_{n→0} = ⟨log Z⟩
  Zastosowanie do uczenia perceptronu: teoria Gardner-Derridy 1988
  Współczesny renesans: analiza przejścia SAT-UNSAT w krajobrazie funkcji straty sieci neuronowej,
    teoria macierzy losowych dla widm wartości osobliwych macierzy wag
          

Wypróbuj te symulacje