Devlog #92 – Fala 71: PageRank, Turniej Axelroda, Figura Lichtenberga, Regulator PID, Archimedes i Mikropęknięcia

Nowe symulacje

PageRank: matematyka stojąca za wyszukiwaniem internetowym

PageRank modeluje losowego surfera internetowego: z prawdopodobieństwem d (współczynnik tłumienia, zwykle 0,85) podąża za losowym hiperłączem z bieżącej strony; z prawdopodobieństwem 1−d teleportuje się na dowolną stronę, wybraną jednostajnie losowo. Ranga każdej strony to jej stacjonarne prawdopodobieństwo w tym łańcuchu Markowa.

Wzór iteracji potęgowej

Równanie aktualizacji w każdej iteracji to: p = (1−d)/N + d · (dangling/N + A^T · p / out_degree). Człon dla węzłów wiszących (Σp_i dla stron bez wychodzących odnośników, redystrybuowana jednostajnie) jest kluczowy — bez niego ranga "wycieka" z węzłów-ujść, a wektor przestaje sumować się do 1. Symulacja pokazuje zbieżność log-L1 ||p_new − p_old||₁ na wykresie pomocniczym, zwykle osiągając precyzję maszynową w 50–100 iteracjach.

Gotowe grafy

• Podręcznikowy: mały graf 6-węzłowy z wyraźną hierarchią
• Ujście rangi: węzeł bez wychodzących krawędzi — pokazuje, dlaczego poprawka dla węzłów wiszących jest potrzebna
• Brin-Page: graf z oryginalnej pracy o PageRank z 1998 roku
• Gwiazda: struktura hub-and-spoke — pokazuje, jak struktura odnośników koncentruje rangę

Turniej Axelroda: kooperacja w warunkach konkurencji

Komputerowy turniej Roberta Axelroda z 1984 roku zadał pytanie: jaka strategia wygrywa w powtarzanym dylemacie więźnia? Zaskakująca odpowiedź: Tit-for-Tat — miła, odwetowa, wybaczająca i czytelna. Ale przy realistycznym szumie (przypadkowych zdradach) obraz staje się bogatszy.

Dziesięć strategii

Turniej obejmuje 10 kanonicznych strategii: AllCooperate (zawsze C), AllDefect (zawsze D), Tit-for-Tat (kopiuj ostatni ruch), Tit-for-Two-Tats (zdradzaj tylko po dwóch kolejnych zdradach), Hojne TFT (czasem wybacza zdradę z prawdopodobieństwem p), Grim Trigger (współpracuj, dopóki nie zostaniesz zdradzony, potem zdradzaj już zawsze), Pavlov (win-stay, lose-shift), Random (50/50), Joss (TFT z 10% ukrytej zdrady) i Friedman (wariant TFT). Rozgrywka każdy z każdym z samograniem daje pełną macierz wyników.

Szum i przewaga hojności

Przy parametrze szumu ε > 0 (każdy zamierzony ruch odwraca się z prawdopodobieństwem ε) TFT wpada w "wojny echa" — pojedyncza przypadkowa zdrada wywołuje wzajemny odwet, który nigdy się nie kończy. Hojne TFT dodaje wybaczanie: z prawdopodobieństwem g ≈ 1 − 3P/(T+R+P) współpracuje nawet po zdradzie. Przy szumie Hojne TFT zbiera znacząco wyższą wypłatę niż ścisłe TFT — ilościowy dowód, że wybaczanie jest strategicznie optymalne.

• Regulowana macierz wypłat T/R/P/S (domyślnie: 5/3/1/0)
• Inspektor meczów: kliknij dowolną komórkę macierzy par, by odtworzyć ten mecz ruch po ruchu
• Suwak szumu od 0 do 0,1
• Wykres słupkowy sumy punktów aktualizowany w czasie rzeczywistym

Figura Lichtenberga: model przebicia dielektrycznego

Figury Lichtenberga to fraktalne wzory wyładowań powstające, gdy prąd o wysokim napięciu przechodzi przez materiał izolacyjny. Model przebicia dielektrycznego (Niemeyer, Pietronero, Wiesmann, 1984) opisuje ich powstawanie prostą probabilistyczną regułą wzrostu na polu potencjału rozwiązanym równaniem Laplace'a.

Solwer Laplace'a SOR i reguła wzrostu

Potencjał elektryczny φ spełnia równanie Laplace'a ∇²φ = 0 z ustalonymi warunkami brzegowymi (elektroda przy φ=1, uziemienie przy φ=0). Solwer nadrelaksacji sukcesywnej (SOR) z ω=1,8 zbiega się około 10× szybciej niż Gauss-Seidel. W każdym kroku wszystkie puste komórki sąsiadujące z rosnącym klastrem są kandydatami do wzrostu. Każdy kandydat "wystrzeliwuje" z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do φ^η — lokalnego potencjału podniesionego do potęgi η.

Parametr η: od DLA do figury Lichtenberga

η w sposób ciągły kontroluje morfologię. Przy η=0 wszystkie miejsca na obwodzie są równie prawdopodobne — to odtwarza agregację ograniczoną dyfuzją (DLA), dając krzaczasty fraktal o wymiarze ≈ 1,71. Wraz ze wzrostem η miejsca o wyższym potencjale (bliżej elektrody) są wykładniczo faworyzowane, co daje wąskie, spikularne rozgałęzienia charakterystyczne dla prawdziwych figur Lichtenberga przy η ≈ 3. Wymiar fraktalny box-counting jest mierzony na żywo na klastrze.

• Trzy tryby brzegowe: punktowa elektroda centralna, płyty równoległe góra-dół, elektroda pierścieniowa
• Renderowanie addytywne poświaty: jasne końcówki, zanikające ramiona
• Suwak η od 0 do 4 z natychmiastową zmianą morfologii
• Eksport klastra jako PNG

Regulator PID: inżynieria sterowania z sprzężeniem zwrotnym

Regulator PID (proporcjonalno-całkująco-różniczkujący) to koń roboczy sterowania przemysłowego — szacuje się, że około 95% wszystkich dziś stosowanych regulatorów sprzężenia zwrotnego to warianty PID lub PI. Mimo prostoty, dobre strojenie wymaga zrozumienia dynamiki sterowanego obiektu.

Trzy modele obiektu

• Cieplny: opóźnienie pierwszego rzędu τẏ + y = u — sterowanie temperaturą pomieszczenia lub pieca
• Wózek (sprężyna-tłumik): drugi rząd mẍ + cẋ + kx = u — sterowanie pozycją układu masa-sprężyna
• Zbiornik: nieliniowy dh/dt ∝ √h — sterowanie poziomem cieczy z odpływem pierwiastkowym

Anti-windup i Ziegler-Nichols

Gdy wyjście osiąga nasycenie, człon całkujący może akumulować się bez ograniczeń (windup), powodując duże przeregulowania po zakończeniu nasycenia. Symulacja implementuje całkowanie warunkowe: człon całkujący akumuluje się tylko wtedy, gdy wyjście nie jest nasycone. Autotuning Zieglera-Nicholsa znajduje zysk graniczny K_u, zwiększając K_p aż do trwałych oscylacji, a następnie ustawia K_p = 0,6K_u, K_i = 1,2K_u/T_u, K_d = 0,075K_u·T_u — solidny punkt startowy do dalszego ręcznego dostrajania.

• 20-sekundowy oscyloskop: zadana wartość, wyjście, błąd i sygnał sterujący
• Panel metryk: czas narastania, przeregulowanie %, czas ustalania, błąd w stanie ustalonym
• Jednoprzyciskowy autotuning Zieglera-Nicholsa
• Profile zadanej wartości: skok, rampa i sinusoida

Zasada Archimedesa: dokładne obliczanie wyporności

Zasada Archimedesa mówi, że F_w = ρ_ciecz · g · V_wyparta. Interesującym wyzwaniem jest obliczenie V_wyparta dokładnie dla nietrywialnych kształtów — a symulacja robi to analitycznie, a nie przez przybliżenie wokselowe.

Dokładne wzory na objętość wypartą

• Sześcian: wzór obciętego prostopadłościanu — V_wyp = A · min(h, h_obiekt), gdzie h to głębokość zanurzenia
• Kula: wzór czaszy kulistej — V_czasza = πh²(3r−h)/3 dla głębokości zanurzenia h ≤ r, odwzorowany dla częściowego zanurzenia od góry
• Kadłub statku: przekrój 5-wierzchołkowy całkowany metodą Simpsona wzdłuż długości

Stabilność metacentryczna statku

Pływające ciało jest stabilne, jeśli jego metacentrum M znajduje się powyżej środka ciężkości G. Gdy statek przechyla się o kąt θ, moment przywracający wynosi M_przywr = ρgV·GM·sinθ. Jeśli GM < 0 (metacentrum poniżej środka ciężkości), moment przywracający staje się destabilizujący i statek się wywraca. Symulacja pokazuje obliczenie wysokości metacentrycznej z drugiego momentu pola powierzchni wodnicy I_wl / V_wyp i animuje wywrotkę, gdy kryterium stabilności zostaje naruszone.

• 5 cieczy: woda słodka, woda morska, rtęć, olej, ciekły azot
• 9 materiałów: stal, aluminium, drewno, lód, styropian, beton, guma, szkło, złoto
• 4 ustawienia grawitacji: Ziemia, Księżyc, Mars, Jowisz
• Waga sprężynowa pokazuje ciężar pozorny = ciężar rzeczywisty − wyporność

Mikropęknięcia: wzrost pęknięć zmęczeniowych według prawa Parisa

Większość uszkodzeń konstrukcyjnych nie zdarza się dlatego, że przyłożone obciążenie przekroczyło wytrzymałość statyczną — zdarzają się, ponieważ maleńkie pęknięcie rosło, cykl po cyklu, aż osiągnęło rozmiar krytyczny. Prawo Parisa i Erdogana z 1963 roku opisuje ten proces ilościowo.

Prawo Parisa i współczynnik intensywności naprężeń

Tempo wzrostu pęknięcia na cykl obciążenia to da/dN = C(ΔK)^m, gdzie a to długość pęknięcia, N to liczba cykli, a ΔK to zakres współczynnika intensywności naprężeń ΔK = Y · Δσ · √(πa). Y to współczynnik geometryczny (≈1 dla pęknięcia centralnego w nieskończonej płycie), Δσ to zakres naprężeń. C i m to stałe materiałowe różniące się o rzędy wielkości między materiałami.

Cztery materiały i katastrofalne pęknięcie

Symulacja pokazuje logarytmiczny wykres a-N dla czterech materiałów inżynierskich: stal A36 (twarda, wolny wzrost pęknięć), Al 7075 (stosowany w lotnictwie, szybszy wzrost), Ti-6Al-4V (stop lotniczy, doskonała odporność na pękanie) i żeliwo (kruche, szybkie rozprzestrzenianie). Gdy K_max = Y · σ_max · √(πa) osiąga odporność na pękanie K_IC, symulacja uruchamia animację katastrofalnego pęknięcia z błyskiem ekranu i rozgałęzianiem pęknięcia — koniec żywotności zmęczeniowej.

• Adaptacyjny podkrok: mniejsze kroki da blisko K_IC dla dokładnej predykcji końcowej żywotności
• Wykres logarytmiczny a-N z podświetlonym reżimem Parisa
• Animacja rozwarcia wierzchołka pęknięcia
• Regulowany początkowy rozmiar pęknięcia, zakres naprężeń i współczynnik geometryczny

Co dalej

Fala 72 przynosi pełny 4-wymiarowy filtr Kalmana z wizualizacją elipsy kowariancji, ręczną propagację wsteczną przez MLP z animacją przepływu gradientu, wahadło 3D z więzami mnożników Lagrange'a, sprzężony model eutrofizacji z pętlą histerezy, symulację akustycznej fali FDTD z czterema typami soczewek oraz keplerowskie pierścienie planetarne z formowaniem luki rezonansowej podziału Cassiniego.