Fala 54 w skrócie
Synchronizacja Van der Pola
Dwa sprzężone oscylatory nieliniowe całkowane metodą RK4. Dostrój tłumienie μ, sprzężenie κ i początkowe przesunięcie fazowe Δφ, by zbadać zachowanie w fazie, w przeciwfazie i quasi-okresowe.
Otwórz symulację →Kolonia Bakteryjna
Chemotaksja run-and-tumble na polu składników odżywczych 60×60. Wyczuwanie gradientu wpływa na prawdopodobieństwo „tumble". Obserwuj formowanie się biofilmu quorum sensing, gdy lokalna gęstość przekracza próg.
Otwórz symulację →Ewolucja Genetyczna
Stworzenia z 4-genowym genomem zmiennoprzecinkowym (prędkość, wzrok, wydajność, agresja) rywalizują o pożywienie. Selekcja turniejowa + mutacja gaussowska napędzają adaptację na przestrzeni pokoleń.
Otwórz symulację →♡ Synchronizacja oscylatora Van der Pola
W 1920 roku Balthasar van der Pol badał samopodtrzymujące się oscylacje w obwodach lampowych triodowych. Opisany przez niego oscylator ma nieliniowy człon tłumienia, który wprowadza energię przy małych amplitudach, a rozprasza ją przy dużych amplitudach — wytwarzając stabilny cykl graniczny niezależnie od warunków początkowych.
Równanie ruchu
Pojedynczy oscylator Van der Pola spełnia równanie różniczkowe drugiego rzędu:
Gdy dwa takie oscylatory są sprzężone poprzez różnicę ich wychyleń, układ może się zsynchronizować. Sprzężone równania mają postać:
ẍ₂ − μ(1 − x₂²)ẋ₂ + x₂ = κ(x₁ − x₂)
Synchronizacja fazowa i model Kuramoto
Sprzężenie Van der Pola jest prekursorem słynnego modelu Kuramoto, który opisuje synchronizację w sieciach słabo sprzężonych oscylatorów. Parametr uporządkowania Kuramoto r = |⟨eiθⱼ⟩| mierzy globalną spójność: r = 1 oznacza pełną synchronię, r ≈ 0 to niekoherencja. W naszym układzie dwóch oscylatorów r = |cos(Δφ)| sprowadza się do pojedynczej różnicy fazowej.
Analogia biologiczna: rozruszniki serca
Komórki węzła zatokowo-przedsionkowego w sercu są tonicznie samopobudzającymi się oscylatorami. Złącza szczelinowe (gap junctions) sprzęgają je elektrycznie. Model Van der Pola (oraz jego krewniak, oscylator relaksacyjny — model FitzHugh-Nagumo) opisuje, jak komórki rozrusznikowe wciągają się nawzajem w rytm, tak że cały region węzła odpala jako pojedyncza zsynchronizowana fala czoła — dając uporządkowaną falę P na EKG. Jeśli sprzężenie zawodzi, niezależne podrozruszniki odpalają z różnymi częstotliwościami, co prowadzi do arytmii.
W symulacji: zacznij od Δφ = 180° (przeciwfaza). Zwiększ κ powyżej ~0,5 i obserwuj, jak różnica fazowa zanika do zera (synchronia w fazie). Zwiększ μ, by zbadać obszar oscylatora relaksacyjnego.
🦠 Kolonia Bakteryjna i Chemotaksja
E. coli i wiele innych bakterii nawiguje po gradientach chemicznych za pomocą obciążonego losowego marszu zwanego run-and-tumble. Podczas „biegu" (run) wiązka wici obraca się jednolicie — komórka płynie prosto. Podczas „przewrotu" (tumble) wiązka się rozpada, a komórka losowo zmienia orientację. Modulując częstotliwość przełączania na podstawie niedawnej historii sygnału, bakterie przeprowadzają chemotaksję — dryfując w górę gradientów atraktantów i z dala od repelentów.
Algorytm run-and-tumble
Każda bakteria przechowuje pozycję, kierunek i flagę biofilmu. W każdym takcie:
- Obliczany jest lokalny gradient chemokiny w miejscu bakterii (interpolacja dwuliniowa na siatce 60×60).
- Prawdopodobieństwo przewrotu jest zmniejszane, gdy komórka porusza się w górę gradientu: P_tumble ← P_tumble × (1 − bias × cos θ), gdzie θ to kąt między kierunkiem ruchu a kierunkiem gradientu.
- Jeśli następuje przewrót, wybierany jest nowy kierunek obciążony w stronę gradientu (stożek ±90°).
- Wykonywany jest jeden krok ruchu; zużywana jest niewielka ilość składnika odżywczego z siatki.
Dyfuzja składników odżywczych
Pole składników odżywczych ewoluuje zgodnie z dyskretnym równaniem dyfuzji z centralnym źródłem i warunkami brzegowymi zerowego strumienia:
Quorum sensing i biofilm
Gdy wiele bakterii nagromadzi się w jednym rejonie, lokalna gęstość może przekroczyć próg — przybliżenie stężenia cząsteczek sygnalizacyjnych quorum sensing (N-acylo-homoseryny laktonów u gatunków Gram-ujemnych). Powyżej progu komórki przełączają się w tryb biofilmu: ruchliwość spada ~15-krotnie, a w symulacji przybierają pomarańczowy kolor. Biofilmy są notorycznie odporne na antybiotyki ze względu na (a) ograniczoną penetrację leku i (b) zmieniony stan metaboliczny.
🧬 Ewolucja Genetyczna — Dobór Naturalny
Kluczowa intuicja Karola Darwina polegała na tym, że dziedziczna zmienność cech istotnych dla przystosowania, w połączeniu ze zróżnicowaną reprodukcją, wystarcza do wytworzenia adaptacji. Bez celu, bez planu — jedynie zróżnicowane przeżycie i reprodukcja na przestrzeni pokoleń.
Genom i fenotyp
Każde stworzenie nosi genom złożony z czterech genów w postaci liczb zmiennoprzecinkowych, wszystkie w przedziale [0, 1]:
- Prędkość — maksymalna prędkość ruchu. Szybsze stworzenia znajdują pożywienie szybciej, ale zużywają więcej energii.
- Wzrok — promień, w którym wykrywane jest pożywienie. Szerszy wzrok nie kosztuje energii w tym modelu, ale konkuruje z innymi cechami poprzez plejotropię w krajobrazie selekcyjnym.
- Wydajność — ilość energii pozyskiwanej z każdej zjedzonej porcji pożywienia (0,5 – 2,0×).
- Agresja — zakodowana jako barwa (hue) stworzenia: zielony = łagodne, czerwony = agresywne. Obecnie jest to neutralny znacznik demonstrujący dryf genetyczny i ewolucję koloru na poziomie populacji.
Selekcja turniejowa
Aby uzupełnić kolejne pokolenie, dla każdego nowego potomka losujemy k osobników (turniej) i wybieramy tego o najwyższym przystosowaniu (ilość zjedzonego pożywienia). Selekcja turniejowa przy k = 2 jest w przybliżeniu równoważna selekcji rangowej; k = 8 zbliża się do selekcji progowej. Suwak rozmiaru turnieju kontroluje presję selekcyjną — wyższe k oznacza, że lepiej przystosowane osobniki dominują szybciej, kosztem różnorodności genetycznej.
Obserwacja adaptacji
Przy ustawieniach domyślnych (σ = 0,08, k = 4, umiarkowana ilość pożywienia) linia średniego przystosowania na wykresie historii na płótnie zwykle rośnie przez pierwsze 10–30 pokoleń, a następnie stabilizuje się blisko zrównoważonego tempa żerowania. Zwiększenie współczynnika mutacji dodaje szumu do puli chromosomów, spowalniając zbieżność, ale umożliwiając ucieczkę z lokalnych optimów — klasyczny kompromis między eksploracją a eksploatacją. Ustawienie k = 10 daje szybką zbieżność (wysoka presja selekcyjna) kosztem przedwczesnej fiksacji.
Dobór naturalny nie jest jedyną działającą siłą. Obserwuj gen agresji (kolor stworzenia) dryfujący przez wiele pokoleń — jeśli środowisko nie daje żadnej przewagi przystosowania agresji, jej wartość losowo wędruje ku fiksacji (albo cała zieleń, albo cała czerwień) na skutek dryfu genetycznego, nawet bez żadnej działającej na nią selekcji.