Devlog #60 – Fala 40: Krzywe Béziera, Efekt Halla i Łańcuchownica

Statystyki wydania

Nowe symulacje

Krzywe Béziera

Krzywe Béziera są podstawą grafiki wektorowej, renderowania czcionek, ścieżek animacji i projektowania CAD. W przeciwieństwie do splajnów interpolujących, które przechodzą przez każdy punkt kontrolny, krzywa Béziera jest zdefiniowana przez otoczkę wypukłą swoich punktów kontrolnych i przechodzi tylko przez pierwszy i ostatni z nich. Krzywa Béziera stopnia n jest wielomianem stopnia n względem parametru t ∈ [0, 1].

Algorytm De Casteljau oblicza ten wielomian geometrycznie: na każdym poziomie rekursji kolejne pary punktów są liniowo interpolowane przy bieżącym t. Dla sześcianu (stopień 3) z czterema punktami kontrolnymi P₀–P₃, trzy rundy interpolacji liniowej dają pojedynczy punkt na krzywej. Symulator rysuje każdy pośredni wielokąt w odrębnym kolorze, więc można dokładnie prześledzić, jak konstruowany jest końcowy punkt krzywej.

Szczegóły techniczne

• Rekurencyjny algorytm De Casteljau przez deCasteljau(pts, t), zwracający tablicę punktów pośrednich na każdym poziomie, renderowanych w mapie kolorów zależnej od poziomu.
• Porównanie z B-splajnem wykorzystuje algorytm Coxa–de Boora z jednorodnym, zaciśniętym wektorem węzłów, rysowanym jako przerywana nakładka.
• Pointer API do przeciągania: pointerdown/pointermove/pointerup z setPointerCapture dla niezawodnego wejścia na różnych urządzeniach.
• Tryb animacji zwiększa t o 0,003 na klatkę (60 fps), zapętlając się 0→1→0 z płynnym odbiciem.

Efekt Halla

Gdy przewodnik z prądem umieszczony jest w polu magnetycznym prostopadłym do prądu, nośniki ładunku są odchylane w bok przez siłę Lorentza F = qv×B. Powoduje to narastanie poprzecznego pola elektrycznego, aż siła elektrostatyczna dokładnie zrównoważy odchylenie magnetyczne. Powstałe napięcie poprzeczne to napięcie Halla:

VH = IB / (nqd)

gdzie n to gęstość nośników, q ładunek nośnika, a d grubość przewodnika. Znak V_H zależy od typu nośnika: elektrony (typ n) odchylają się przeciwnie niż dziury (typ p), więc polaryzacja napięcia Halla bezpośrednio wskazuje dominujący typ nośnika. To podstawa działania czujników Halla, stosowanych wszędzie — od sterowników silników bezszczotkowych po bezdotykowe enkodery położenia i kompasy w smartfonach.

Szczegóły symulacji

• 40 cząstek zainicjowanych z losowymi pozycjami. W każdej klatce prędkość dryfu v_d = I / (n · q · A) (A = przekrój poprzeczny przewodnika) przesuwa każdy nośnik wzdłuż osi prądu.
• Poprzeczne przemieszczenie Lorentza rośnie jako Δy = q · v_d · B · dt / m, ograniczone przy saturacji (odzwierciedlającej narastanie pola Halla).
• Nośniki typu n (elektrony, niebieski, –q) odchylają się przeciwnie niż dziury typu p (czerwony, +q), zgodnie z eksperymentalnymi konwencjami znaków.
• Tło pola B jest wizualizowane jako siatka symboli ⊙ (w głąb strony) lub ⊗ (z płaszczyzny strony), która aktualizuje się, gdy B = 0 (wyłączone).

Łańcuchownica

Galileusz twierdził, że kształt wiszącego łańcucha jest parabolą. W 1691 roku Leibniz, Huygens i Johann Bernoulli niezależnie wyprowadzili poprawną odpowiedź: kosinus hiperboliczny, dziś zwany łańcuchownicą (od łacińskiego catena, łańcuch). Równanie to y = a⋅cosh(x/a), gdzie parametr a = T₀/(wg) koduje stosunek naprężenia poziomego do ciężaru na jednostkę długości.

Symulator przyjmuje dwa punkty zaczepienia na dowolnych wysokościach i numerycznie rozwiązuje a. Przy zadanym rozstawie poziomym d i pożądanej długości łuku L, ograniczenie ma postać:

2a · sinh(d / (2a)) = L

To równanie przestępne nie ma rozwiązania w postaci zamkniętej, więc symulator uruchamia metodę Newtona przez maksymalnie 80 iteracji, aż |Δa| < 10⁻⁶. Wynikowe a zazwyczaj zbiega w 15–25 iteracjach.

Szczegóły techniczne

• Łańcuchownica jest próbkowana przy N = 300 równo rozłożonych wartościach x przez a · cosh((x − cx) / a) + C, gdzie cx to punkt środkowy, a C to przesunięcie pionowe.
• Nakładka paraboli wykorzystuje tę samą głębokość zwisu co łańcuchownica, ale dopasowaną funkcją kwadratową A(x − cx)² + apex, co czyni różnicę wizualnie oczywistą w pobliżu zaczepów.
• Wektory naprężenia są skalowane proporcjonalnie do T(x) = wa · cosh(x/a), pokazując, że naprężenie jest minimalne w najniższym punkcie i rośnie w kierunku podpór.
• Suwak „Gęstość” efektywnie skaluje L względem rozstawu zaczepów, kontrolując głębokość zwisu bez przesuwania zaczepów.

Notatki techniczne

Wszystkie trzy symulacje to pliki HTML5/Canvas 2D bez zależności zewnętrznych. Rekursja De Casteljau jest obliczana w każdej klatce animacji bez wstępnego buforowania, co utrzymuje prostotę kodu, mieszcząc się w budżecie 16 ms na klatkę nawet dla krzywych stopnia 5. Symulacja efektu Halla wykorzystuje pętlę cząstek o złożoności O(n) (40 cząstek) aktualizowaną przez requestAnimationFrame. Solver Newtona dla łańcuchownicy działa deterministycznie w wywołaniu draw(), kończąc w czasie poniżej 0,1 ms.

Tagi

Grafika Komputerowa Krzywe Béziera De Casteljau B-Splajn Krzywe Parametryczne Efekt Halla Siła Lorentza Półprzewodnik Napięcie Halla Elektromagnetyzm Łańcuchownica Wiszący Łańcuch Kosinus Hiperboliczny Metoda Newtona Fala 40