Fala 32: DLA, Portret Fazowy i Wzory Turinga

Liczby platformy

Symulacje Fali 32

🌿 Diffusion-Limited Aggregation

Algorytm Wittena-Sandera

Witten i Sander wprowadzili DLA w swojej pracy z 1981 roku „Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon”. Algorytm jest zwodniczo prosty: jedna cząstka jest ustalona w początku układu (ziarno). Nowe cząstki są wielokrotnie generowane w losowym punkcie na okręgu tuż poza bieżącym promieniem klastra, a następnie wykonują błądzenie losowe (±1 wzdłuż x lub y w każdym kroku). W chwili gdy cząstka wyląduje sąsiadując z dowolną komórką już należącą do klastra, zamarza na stałe i staje się jego częścią. I tak w kółko.

Gałęzie powstają, ponieważ cząstki wykonujące błądzenie losowe daleko od klastra mają jednakową szansę zbliżenia się z dowolnego kierunku — ale cząstki głęboko we wklęsłej szczelinie rzadko zdołają zdyfundować w głąb, zanim dotkną czubka gałęzi. Dlatego czubki rosną najszybciej i przesłaniają wnętrze, tworząc charakterystyczną strukturę dendrytyczną.

Szczegóły implementacji

• Siatka: 500×500 Uint16Array. Wartość komórki 0 = pusta; wartość ≥1 = kolejność, w jakiej cząstka dołączyła do klastra. Kolejność steruje gradientem koloru (wcześniejsze cząstki ciemniejsze, nowsze jaśniejsze).
• Promień startu: błądzące cząstki startują na okręgu o promieniu maxRadius + 5. maxRadius to odległość euklidesowa od początku układu do najbardziej zewnętrznej komórki klastra, aktualizowana za każdym razem, gdy cząstka zamarza.
• Warunek eliminacji: cząstki, które oddalą się poza SIZE/2 − 2 (połowa krawędzi siatki), są odrzucane i generowane ponownie. Zapobiega to wędrowaniu cząstek przez astronomicznie długi czas na dużych siatkach.
• Suwak lepkości (0,1 – 1,0): gdy błądząca cząstka sąsiaduje z klastrem, zamarza tylko z prawdopodobieństwem p = lepkość. Niższa lepkość daje gęstsze, mniej rozgałęzione struktury, bo cząstki mają wielokrotną szansę odejścia od cienkich czubków.
• Kształty ziarna: Punkt, Linia, Pierścień, Krzyż — wszystkie działają poprzez tę samą funkcję addToCluster(x,y); komórki ziarna zasiewają początkowy klaster, zanim ruszą błądzące cząstki.
• Wiele cząstek na klatkę: jednocześnie aktywnych jest 1–40 cząstek. Każda wykonuje krok raz na podklatkę; cztery podklatki uruchamiane są na każde requestAnimationFrame. Daje to ~60×4×40 = 9600 kroków cząstek na sekundę na typowym wyświetlaczu.
• Oszacowanie wymiaru fraktalnego: wyświetlane jako D_f = ln(N) / ln(R), gdzie N to liczba cząstek, a R to maxRadius. Teoretycznie ~1,71 w 2D; odczyt na żywo zbliża się do tej wartości w miarę wzrostu klastra.

Palety kolorów

Sześć palet mapuje indeks dołączenia do klastra (znormalizowany 0–1 względem maxParticles) na trójkę RGB: Szmaragd, Złoto, Lód, Płomień, Fiolet i Mono. Zmiana palety wywołuje pełne przerysowanie wszystkich pikseli ImageData N×N na podstawie zapisanej siatki, więc żadne dane cząstek nie są tracone.

Co warto wypróbować

• Ustaw lepkość na 0,2 i porównaj gęstszy klaster z lepkością 1,0 — wymiar fraktalny zauważalnie maleje.
• Użyj ziarna Krzyż lub Pierścień, aby wyhodować symetryczne klastry; kształt ziarna zostaje zachowany w topologii rozgałęzień.
• Podnieś maksymalną liczbę cząstek do 20 000 i pozwól symulacji działać, aby zobaczyć, jak wymiar fraktalny zbliża się do teoretycznej wartości 1,71.

🔄 Portret Fazowy

Dlaczego płaszczyzny fazowe?

Dwuwymiarowy autonomiczny układ ODE ẋ = f(x,y), ẏ = g(x,y) nie da się rozwiązać analitycznie dla większości interesujących f i g — ale jego zachowanie można w pełni scharakteryzować geometrycznie. Płaszczyzna fazowa to układ współrzędnych (x, y); w każdym punkcie rysujemy małą strzałkę w kierunku (f, g). Trajektorie to krzywe płynące wzdłuż tych strzałek. Punkty stałe (gdzie strzałki znikają) klasyfikuje się jako węzły, spirale, siodła lub centra — klasyfikacja wymaga jedynie wartości własnych jakobianu.

Sześć klasycznych układów

• Lotka-Volterra — drapieżnik-ofiara; neutralnie stabilne zamknięte orbity wokół równowagi współistnienia, bez zapadania spiralnego, ponieważ układ jest zachowawczy.
• Van der Pol — μ = 2; sztywny oscylator relaksacyjny z jednym niestabilnym punktem stałym w początku układu, otoczonym unikalnym stabilnym cyklem granicznym.
• Wahadło — nieliniowe θ̈ + 0,25θ̇ + sin θ = 0; tłumione stabilne spirale przy całkowitych wielokrotnościach 2π, punkty siodłowe przy nieparzystych wielokrotnościach π.
• Bifurkacja Hopfa — ṙ = r(1−r²), postać kartezjańska; idealny kołowy cykl graniczny przy r = 1, do którego zbiegają wszystkie trajektorie.
• Siodło-węzeł — ẋ = x²−1, ẏ = −y; stabilny węzeł w (−1, 0) i siodło w (+1, 0), gdzie oś y stanowi separatrysę.
• Spirala zapadająca — układ liniowy z wartościami własnymi −0,2 ± i; wszystkie trajektorie spiralnie zbiegają do środka z tą samą częstością kątową.

Implementacja: całkowanie RK4

Trajektorie są całkowane klasyczną metodą Rungego-Kutty czwartego rzędu. Każde wywołanie rk4(x, y, dt) oblicza f i g czterokrotnie (w bieżącym punkcie, dwóch punktach pośrednich i przewidywanym punkcie końcowym) i łączy je z wagami 1/6, 1/3, 1/3, 1/6. Krok czasowy wynosi dt = 0,03, a na każde wywołanie requestAnimationFrame wykonywanych jest do 6 kroków RK4. Trajektorie są automatycznie przerywane, gdy opuszczą promień eliminacji równy 3-krotności zakresu widoku.

Izokliny zerowe

Izoklina zerowa x (czerwona) to zbiór punktów, w których ẋ = 0 — trajektorie przecinają ją, poruszając się pionowo. Izoklina zerowa y (niebieska) to miejsce, gdzie ẏ = 0 — trajektorie przecinają ją, poruszając się poziomo. Ich przecięcia są zawsze punktami stałymi. Obie są obliczane przez skanowanie siatki 300×300 płaszczyzny fazowej i wykrywanie zmian znaku kolumna po kolumnie (dla izokliny x) lub wiersz po wierszu (dla izokliny y), z interpolacją liniową do precyzji podsiatkowej.

Co warto wypróbować

• Kliknij „Auto-seed”, aby zalać płaszczyznę fazową trajektoriami i od razu zobaczyć globalną strukturę przepływu.
• W układzie Lotka-Volterra kliknij w pobliżu punktu stałego (2, 1,5) i obserwuj zamkniętą orbitę; kliknij dalej, aby uzyskać większą orbitę.
• W układzie Van der Pol kliknij blisko początku układu (niestabilny) i obserwuj, jak spirala rozszerza się na zewnątrz do cyklu granicznego.
• Wyłącz izokliny zerowe, aby zredukować szum wizualny podczas badania kształtów trajektorii.

🐆 Wzory Turinga

Spostrzeżenie Turinga z 1952 roku

W pracy „The Chemical Basis of Morphogenesis” (1952) Alan Turing matematycznie wykazał, że dwa gatunki chemiczne o różnych współczynnikach dyfuzji mogą samoistnie złamać symetrię translacyjną — zaczynając od niemal jednorodnego rozkładu, układ wzmacnia małe fluktuacje przestrzenne i osiada w stabilnym, przestrzennie okresowym wzorze.

Kluczowy mechanizm to lokalna samo-aktywacja z dalekozasięgowym hamowaniem bocznym. Substancja aktywująca U katalizuje własną produkcję, a jednocześnie wytwarza inhibitor V, ale V dyfunduje szybciej niż U. Dlatego mały wzrost U tworzy lokalny nadmiar V, który tłumi U w otaczającym obszarze, wyrzeźbiając charakterystyczną długość fali wzoru.

Model Graya-Scotta

Gray i Scott (1984) wprowadzili czysty schemat reakcji, który wykazuje szeroką różnorodność wzorów Turinga w zależności od dwóch parametrów:

∂U/∂t = D_U∇²U − UV² + F(1−U)

∂V/∂t = D_V∇²V + UV² − (F+k)V

Tutaj UV² to człon autokatalityczny (U i V reagują, tworząc więcej V), F(1−U) zasila U ze zbiornika, a (F+k)V usuwa V. Stałe parametry to D_U = 0,16 i D_V = 0,08 (więc U dyfunduje dwukrotnie szybciej niż V). Presety obejmują mapę parametrów po raz pierwszy udokumentowaną przez Pearsona (1993):

• Plamki (F=0,035, k=0,065) — izolowane obszary wysokiego V w morzu niskiego V, analogiczne do plam lamparta lub wzorów orki.
• Paski (F=0,060, k=0,062) — równoległe pasma, analogiczne do pasków zebry lub deseni tygrysa.
• Labirynt (F=0,040, k=0,060) — połączone, przypominające labirynt kanały, powszechny wzór na liniach papilarnych.
• Mitoza (F=0,028, k=0,053) — plamki, które okresowo dzielą się i mnożą, naśladując podział komórkowy.
• Robaki (F=0,078, k=0,061) — wijące się, wydłużone plamki, które powoli dryfują po siatce.

Implementacja: 9-punktowy laplasjan, całkowanie Eulera

Symulacja działa na okresowej siatce 200×200, wykorzystując pary buforów podwójnych Float32Array. Dyskretny laplasjan wykorzystuje 9-punktowy szablon z wagami 0,05 dla czterech sąsiadów po przekątnej i 0,20 dla czterech sąsiadów głównych (sumujących się do 1 minus waga środkowa −1), co zapewnia lepszą izotropię niż standardowy szablon 5-punktowy. Całkowanie wykorzystuje jawną metodę Eulera z dt = 1,0; jest to numerycznie stabilne, ponieważ D_U ≤ 0,16 < 0,25 (granica stabilności CFL dla tego szablonu).

Pięć palet kolorów (Bursztyn, Ocean, Plazma, Jadeit, Mono) mapuje pole stężenia U liniowo z tła na pierwszy plan. Pętla renderująca zapisuje bezpośrednio do bufora pikseli ImageData dla maksymalnej przepustowości — bez pośrednich łańcuchów kolorów CSS.

Inicjalizacja: zaszczepione plamy

Siatka startuje przy U ≈ 1, V ≈ 0 wszędzie (trywialny punkt stały), z niewielkim losowym szumem łamiącym symetrię. Dwanaście małych okrągłych plam o promieniu 4 jest zaszczepionych z U = 0,5, V = 0,25. Działają one jako miejsca zarodkowania; bez nich sam szum potrzebowałby znacznie więcej czasu na zasianie wzoru. Ostateczny wzór jest niezależny od położenia ziaren — tylko (F, k) decyduje o tym, jaki typ wzoru ostatecznie powstanie.

Co warto wypróbować

• Przełączaj między presetami i obserwuj, jak istniejący wzór rozpuszcza się, a powstaje nowy — stan przejściowy jest często ciekawszy niż stan ustalony.
• Wypróbuj preset Mitoza: widać, jak pojedyncze plamki dzielą się na dwie i oddalają się od siebie.
• Podnieś prędkość do 20 kroków na klatkę, aby osiągnąć stan ustalony w kilka sekund; obniż ją do 1, aby obserwować rozwój wzoru w zwolnionym tempie.
• Naciśnięcie Reset przy presecie Labirynt za każdym razem wygeneruje inny labirynt — stan ustalony jest unikalny w typie, ale nie w mikroskopijnych szczegółach.

Notatki techniczne

• Malowanie ImageData w DLA — za każdym razem, gdy nowa cząstka się przykleja, do bufora ImageData malowany jest tylko jej pojedynczy piksel; całe wywołanie putImageData nadal ma złożoność O(N²), ale unika operacji na łańcuchach znaków zbieranych przez garbage collector przy każdym pikselu.
• Portret fazowy — wykrywanie izoklin zerowych skanuje podsiatkę 300×300 osobno dla każdej kolumny (izoklina x) i każdego wiersza (izoklina y), szukając miejsc zerowych f lub g; zmiana znaku ⇒ interpolacja liniowa do precyzji podkomórkowej.
• Stabilność Graya-Scotta — jawna metoda Eulera jest warunkowo stabilna dla części dyfuzyjnej, gdy D < 1/(4 × dt), czyli D < 0,25 przy dt = 1. Zarówno D_U = 0,16, jak i D_V = 0,08 spełniają ten warunek; człony reakcji są ograniczone i nie zagrażają stabilności.
• Wszystkie symulacje Fali 32 mają pełne strony EN + UK i są zarejestrowane w simulations.json.

Tagi

DLA Fraktale Błądzenie Losowe Wymiar Fraktalny Portret Fazowy Układy Dynamiczne Van der Pol Lotka-Volterra RK4 Wzory Turinga Reakcja-Dyfuzja Gray-Scott Morfogeneza Fala 32

Zapowiedź Fali 33

Trzy symulacje zaplanowane na Falę 33:

• Diagram Woronoja — interaktywna geometria obliczeniowa; dodawaj punkty zarodkowe i obserwuj, jak komórki Woronoja i triangulacja Delaunaya aktualizują się w czasie rzeczywistym.
• Podwójne wahadło — chaotyczna dynamika wahadła dwuogniwowego; wizualizuj wrażliwość na warunki początkowe za pomocą wielu jednoczesnych trajektorii.
• Neuron Hodgkina-Huxleya — nagrodzony Nagrodą Nobla model generowania potencjału czynnościowego; reguluj przewodności kanałów jonowych i obserwuj zmianę wzorca impulsów.

Wszystkie symulacje Fali 33 zostaną wydane z pełnymi stronami EN + UK w dniu premiery.