Wave 29: Szereg Taylora, neuron Hodgkina–Huxleya i model Isinga

Statystyki platformy

Wave 29 w skrócie

Wizualizator szeregu Taylora

Szereg Taylora rozwija dowolną gładką funkcję jako nieskończony wielomian wyśrodkowany w punkcie a:

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a) · (x − a)ⁿ / n!

Wizualizator obsługuje osiem funkcji i pozwala przesuwać centrum rozwinięcia a w dowolnym miejscu osi — nie tylko w punkcie zerowym Maclaurina. Każdy dodany wyraz jest podświetlony na wykresie i wypisany pod canvasem, dzięki czemu łatwo zobaczyć, jak szybko (lub wolno) suma częściowa zbiega do prawdziwej krzywej.

• Panel główny — prawdziwa funkcja (biała) i suma częściowa (cyjan) nałożone na siebie; luka między nimi jest wypełniona, aby pokazać błąd chwilowy.
• Panel błędu — przełączalny subwykres |f(x) − P_N(x)| w skali logarytmicznej, uwidaczniający natychmiast rozbieżność na granicy zbieżności.
• Lista wyrazów — przewijalna lista aktualnych współczynników z podświetlonym wyrazem najwyższego rzędu w chwili dodania.
• Promień zbieżności — wyświetlany dla każdej funkcji (np. R = 1 dla ln(1+x) i arctan, R = ∞ dla sin/cos/exp).

Kontrolki: wybór funkcji, centrum rozwinięcia a (−3 do 3), liczba wyrazów N (1–20), przybliżenie zakresu x, przełącznik panelu błędu, przycisk animacji (automatycznie zwiększa N od 1 wzwyż).

Neuron Hodgkina–Huxleya

Model Hodgkina–Huxleya (1952, Nagroda Nobla 1963) opisuje jonowy mechanizm potencjału czynnościowego w gigantycznym aksonie kałamarnicy. Potencjał błonowy V spełnia ODE:

C_m dV/dt = I_ext − g_Na m³h(V − E_Na) − g_K n⁴(V − E_K) − g_L(V − E_L)

ze zmiennymi bramkującymi m, h (aktywacja/inaktywacja sodowa) i n (aktywacja potasowa), z których każda podlega kinetyce pierwszego rzędu dx/dt = α_x(V)(1−x) − β_x(V)x.

Symulacja używa oryginalnych parametrów aksonu kałamarnicy Hodgkina i Huxleya z 1952 roku (C_m = 1 μF/cm², g_Na = 120, g_K = 36, g_L = 0,3 mS/cm²) i całkuje pełny układ ODE metodą Eulera z dt = 0,01 ms. Canvas rysuje V(t) na niebiesko plus trzy ślady zmiennych bramkujących (m czerwony, h żółty, n zielony) oraz fioletowy pasek I_ext. Panel informacyjny zgłasza liczbę skoków, szczytowe napięcie i częstotliwość wyładowań.

• Presety — pojedynczy skok, powtarzalne wyładowania, podprogowa stymulacja, krótki impuls, wybuch wysokiej częstotliwości.
• Suwaki — I_ext (0–20 μA/cm²), początek i czas trwania impulsu, okno symulacji (10–200 ms).
• Tryb animacji — odtwarza symulację w widoku przewijanym w czasie rzeczywistym przy 60 fps, dzięki czemu można obserwować narastanie ciągu skoków.

Model Isinga — przejścia fazowe

2D model Isinga to najprostszy układ przechodzący ciągłe przejście fazowe. Spiny s_i = ±1 na siatce kwadratowej oddziałują poprzez sprzężenie z najbliższymi sąsiadami; hamiltonian ma postać:

H = −J Σ_⟨i,j⟩ s_i s_j − H Σ_i s_i

Algorytm Metropolisa–Hastingsa próbkuje rozkład Boltzmanna: losowy obrót spinu jest akceptowany bezwarunkowo, jeśli ΔE ≤ 0, lub z prawdopodobieństwem e^−ΔE/k_BT w przeciwnym razie. Poniżej dokładnej 2D temperatury krytycznej k_BT_c = 2J/ln(1+√2) ≈ 2,269J pojawia się spontaniczna magnetyzacja i rosną duże domeny ferromagnetyczne. Powyżej T_c fluktuacje termiczne całkowicie porządkują siatkę w nieporządek.

Canvas koduje kolorem każdy spin (ciepła czerwień = góra, chłodny błękit = dół) i renderuje w pełnej rozdzielczości przez ImageData, umożliwiając płynną animację w czasie rzeczywistym nawet przy N = 80 (6400 spinów). Wykres historii magnetyzacji na żywo śledzi |⟨m⟩| w czasie. Kontrolki udostępniają T/T_c, pole zewnętrzne H, sprzężenie J, rozmiar siatki N oraz warunki początkowe (losowe, wszystkie w górę, wszystkie w dół).

Uwagi inżynierskie

Szereg Taylora: analityczne obliczanie n-tej pochodnej + regularyzacja L’Hôpitala

Obliczenie współczynnika Taylora c_n = f⁽ⁿ⁾(a)/n! wymaga dokładnej n-tej pochodnej w centrum rozwinięcia. Dla sin, cos, sinh, cosh pochodne cyklują się z okresem odpowiednio 4 lub 2, więc wystarczy prosty dyspozytor modulo. Dla ln(1+x) wzór to c_n = (−1)ⁿ⁺¹(n−1)!/(1+a)ⁿ. Dla 1/(1−x) postać zamknięta to n!/(1−a)ⁿ⁺¹. Dla arctan, którego wyższe pochodne nie mają czystej postaci zamkniętej, implementacja stosuje wyśrodkowany schemat różnic skończonych rzędu n. Silnie są memoizowane do n = 170 (granica przepełnienia podwójnej precyzji). Funkcje szybkości α_m i α_n w Hodgkinie–Huxleyu stosują ten sam wzorzec reguły L’Hôpitala: gdy |V + 40| < 10⁻⁵ (odp. |V + 55|), wartość graniczna 1,0 (odp. 0,1) jest zwracana bezpośrednio, aby uniknąć 0/0 przez skracanie.

Hodgkin–Huxley: pełne rozwiązanie, potem renderowanie dla animacji bez zakłóceń

Zamiast krokować ODE wewnątrz pętli animacji (co grozi drganiami klatek powodującymi widoczny szum numeryczny), symulacja uruchamia całą synchroniczną integrację Eulera w głównym wątku za każdym razem, gdy zmienia się suwak, przechowując kompletne tablice V(t), m(t), h(t), n(t). Pętla requestAnimationFrame po prostu przewija okno po wstępnie obliczonych tablicach i rysuje widoczny segment, gwarantując, że kształt fali jest identyczny niezależnie od częstotliwości odświeżania ekranu. Okno 200 ms przy dt = 0,01 ms to 20 000 punktów — wystarczająco szybkie do obliczenia w <2 ms na każdym nowoczesnym urządzeniu.

Model Isinga: losowy dostęp Metropolisa a przemiatanie szachownicowe

Kanoniczna implementacja podręcznikowa używa przemiatania szachownicowego (czerwono-czarnego), aby uniknąć problemów wyścigu danych w implementacjach równoległych, ale wprowadza to subtelną korelację: podsieć "czarna" odczuwa wpływ wszystkich zaktualizowanych spinów czerwonych jednocześnie, tworząc małe systematyczne odchylenie w pobliżu T_c. Symulacja zamiast tego używa losowego dostępu Metropolisa: każdy podkrok wybiera jednorodnie losowy indeks spinu, oblicza ΔE z czterech sąsiadów o warunkach okresowych i stosuje kryterium akceptacji. Jedno przemiatanie składa się z N² takich pojedynczych propozycji, więc każde przemiatanie jest statystycznie równoważne jednemu krokowi Monte Carlo na spin (MCS). Int8Array przechowuje spiny kompaktowo (±1 w 1 bajcie każdy), a ImageData renderuje siatkę pojedynczym wywołaniem putImageData na klatkę.

Co dalej — zapowiedź Wave 30

Planowane tematy na Wave 30 obejmują:

• Konstruktor szeregu Fouriera — rozkładanie fal prostokątnych, piłokształtnych i trójkątnych na harmoniczne; interaktywne dodawanie/usuwanie wyrazów; obserwacja zjawiska Gibbsa na nieciągłościach
• Soczewkowanie grawitacyjne — ugięcie światła Schwarzschilda, promień pierścienia Einsteina, soczewki punktowe i rozciągłe, obrazy źródła po retro-soczewkowaniu
• Czoło fali epidemii (SIR-PDE) — model SIR reakcji-dyfuzji na siatce 2D, prędkość propagacji przestrzennej, krzywizna czoła fali, heterogeniczność populacji

Wszystkie symulacje Wave 30 będą miały strony EN + UK od dnia premiery.