Афінна алгебраїчна крива C = V(f) ⊂ ℂ² задана рівнянням f(x,y) = y² − x³ − ax − b = 0 (кубика Вейєрштрасса). Пряма — многовид степеня 1. За теоремою Безу пряма перетинає кубику рівно у 3 точках (з урахуванням кратності, над ℂ, включно з нескінченністю).
y² = x³ + ax + b
пряма через P, Q: y = m·x + c
теорема Безу: deg(пряма)·deg(кубика) = 1·3 = 3 точки перетину
груповий закон: P + Q = −R, де R — третя точка перетину
- Параметри a, b — форма кубики; коли Δ = −16(4a³+27b²) = 0, крива сингулярна (з'являється вузол/точка звороту).
- Точки P, Q — обираються на кривій повзунками по x; січна пряма через них перетинає криву втретє в точці R′.
- Груповий закон — сума P+Q визначається як віддзеркалення третьої точки перетину відносно осі x: якщо P=Q, використовується дотична (подвоєння точки).
Ця конструкція — основа арифметики еліптичних кривих (RSA-подібна складність дискретного логарифма) та класичного прикладу перетину многовидів з алгебраїчної геометрії.