Question 1

Quelle est la définition formelle d'une dérivée ?

Accepted Answer

La dérivée de f en x est f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)]/h, à condition que la limite existe. La fonction est dite dérivable en x si cette limite existe et est finie. Si la limite existe à droite et à gauche mais qu'elles sont inégales, la fonction a un « point anguleux » en x (comme |x| en x = 0) et n'y est pas dérivable, même si elle y est continue. La dérivabilité implique la continuité mais la réciproque est fausse — la fonction de Weierstrass est continue partout mais dérivable nulle part.

Question 2

Que vous apprend le signe de la dérivée sur la fonction ?

Accepted Answer

Là où f'(x) > 0, la fonction est croissante ; là où f'(x) < 0, elle est décroissante ; là où f'(x) = 0, la fonction a un point stationnaire (maximum, minimum ou point-selle possible). La dérivée seconde f''(x) affine cela : si f'(x) = 0 et f''(x) > 0, le point est un minimum local ; si f''(x) < 0, un maximum local. Là où f''(x) = 0 et f'' change de signe, la fonction a un point d'inflexion — où la concavité passe de vers le haut à vers le bas ou inversement.

Question 3

Qu'est-ce que la règle de la chaîne et pourquoi est-elle importante ?

Accepted Answer

La règle de la chaîne stipule que si y = f(g(x)), alors dy/dx = f'(g(x)) · g'(x) — la dérivée de la fonction externe évaluée à l'interne, multipliée par la dérivée de l'interne. C'est sans doute la règle de dérivation la plus importante, car presque toute fonction réelle est une composition. Dans les réseaux de neurones, l'algorithme de rétropropagation n'est qu'une application répétée de la règle de la chaîne à travers chaque couche : les gradients circulent en arrière comme des produits de jacobiens locaux, permettant à la descente de gradient d'entraîner des réseaux profonds.

Question 4

Quelle est la différence entre une dérivée et une différentielle ?

Accepted Answer

La dérivée f'(x) est un nombre (ou une fonction) représentant le taux de variation instantané. La différentielle dy = f'(x) dx est une approximation linéaire infinitésimale de la variation de y correspondant à une variation infinitésimale dx de x. Les différentielles sont utiles pour la propagation d'erreur (si x a une incertitude Δx, alors Δy ≈ f'(x)·Δx), l'approximation linéaire (f(x+h) ≈ f(x) + f'(x)·h pour un petit h), et comme fondement de la géométrie différentielle sur les variétés.

Question 5

Qu'est-ce que la différenciation numérique et quels en sont les pièges ?

Accepted Answer

La différenciation numérique approxime f'(x) à l'aide de différences finies, par exemple la différence avancée [f(x+h) − f(x)]/h ou la différence centrée [f(x+h) − f(x−h)]/(2h). La différence centrée a une erreur de troncature en O(h²) contre O(h) pour la différence avancée. Cependant, utiliser un h trop petit provoque une annulation catastrophique en arithmétique à virgule flottante : quand h = 10⁻¹⁵ sur un double 64 bits, f(x+h) et f(x) concordent sur 15 chiffres et leur différence est dominée par l'erreur d'arrondi. Le h optimal pour une différence centrée est approximativement (ε_machine)^(1/3) ≈ 10⁻⁵ pour les doubles.

Question 6

Qu'est-ce que la différenciation automatique (AD) ?

Accepted Answer

La différenciation automatique calcule des dérivées exactes de programmes informatiques (pas seulement de fonctions mathématiques) en appliquant la règle de la chaîne à chaque opération arithmétique élémentaire. En mode direct (forward-mode AD), chaque variable porte une partie « duale » suivant sa dérivée ; en mode inverse (reverse-mode AD, qui est la rétropropagation en ML), le programme est d'abord évalué en avant, puis les dérivées sont accumulées en arrière à travers un graphe computationnel. L'AD évite à la fois la complexité symbolique des règles de calcul différentiel et les erreurs numériques des différences finies, en faisant l'approche standard des frameworks d'apprentissage profond modernes comme PyTorch et JAX.

Question 7

Comment la dérivée est-elle liée à la droite tangente ?

Accepted Answer

La droite tangente à f en x₀ est l'unique droite passant par (x₀, f(x₀)) avec une pente f'(x₀) : y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀). C'est la meilleure approximation linéaire de f près de x₀ — formellement, l'erreur |f(x) − [f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)]| = o(|x − x₀|) quand x → x₀. Cette caractérisation en « petit o » est en fait la définition moderne de la dérivabilité sur les variétés, se généralisant naturellement aux surfaces et espaces de dimension supérieure où les pentes n'ont pas de sens mais les approximations linéaires en ont.

Question 8

Qu'est-ce que la règle de L'Hôpital ?

Accepted Answer

La règle de L'Hôpital stipule que si lim(x→a) f(x) = lim(x→a) g(x) = 0 (ou ±∞), alors lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x), à condition que cette dernière limite existe. Elle résout les formes indéterminées (0/0, ∞/∞). Un exemple classique : lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) cos(x)/1 = 1. Elle a été publiée par Guillaume de l'Hôpital en 1696 dans le premier manuel de calcul différentiel, bien que Bernoulli ait dérivé le résultat et l'ait vendu à l'Hôpital dans le cadre d'un accord financier.

Question 9

Qu'est-ce que le théorème des accroissements finis ?

Accepted Answer

Le théorème des accroissements finis (TAF) stipule que si f est continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), alors il existe c ∈ (a, b) tel que f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) — le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen en un point intérieur. Le TAF sous-tend de nombreux résultats fondamentaux : il prouve qu'une fonction avec f'(x) = 0 partout est constante, et il est à la base du théorème fondamental du calcul. En ingénierie, il justifie l'utilisation de mesures dérivées locales pour inférer un comportement global.

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