🎲 Inégalité de Bell

Un modèle à variables cachées locales (VCL) suppose que chaque particule porte un état interne caché (la « variable ») fixé au moment où la paire est créée, et que cet état détermine de manière déterministe le résultat de toute mesure. « Local » signifie que le résultat d'Alice ne peut pas dépendre du réglage de mesure de Bob, et vice versa. Bell a prouvé que tout modèle de ce type doit respecter |S| ≤ 2, tandis que la mécanique quantique prédit S jusqu'à 2√2. Les expériences trouvent systématiquement S ≈ 2,8, excluant tous les modèles VCL.

La corrélation quantique pour l'état singulet est E(a,b) = –cos(a – b). Maximiser S = E(a,b) – E(a,b') + E(a',b) + E(a',b') nécessite de choisir des angles tels que les cosinus se combinent de manière constructive. Fixer a = 0°, b = 22,5°, a' = 45°, b' = 67,5° donne des différences de 22,5°, 67,5°, 22,5° et 22,5°. En substituant dans la formule du cosinus, on obtient S = –cos(22,5°) + cos(67,5°) – cos(22,5°) – cos(22,5°) = –3cos(22,5°) + cos(67,5°) = 2√2 ≈ 2,828.

Les premières expériences de Bell avaient des failles : la « faille de détection » (seule une fraction des paires de photons est détectée, un échantillon potentiellement biaisé), la « faille de localité » (des détecteurs assez proches pour qu'un signal subluminique puisse transmettre le réglage d'Alice à Bob avant sa mesure), et la « faille du libre arbitre » (les réglages pourraient être corrélés avec des variables cachées). L'expérience de Delft de 2015 par Hensen et al. a fermé toutes les failles majeures simultanément en utilisant des électrons intriqués dans des centres azote-lacune distants de 1,3 km, atteignant S = 2,42 ± 0,20.

La signification statistique d'une violation de Bell croît comme √N, où N est le nombre d'essais. Avec N = 1 000 essais, l'erreur type sur S est d'environ 0,06, plaçant une violation quantique (S ≈ 2,83 contre la borne classique de 2,0) à environ 13 écarts-types de la limite classique — extrêmement convaincant. Les expériences réelles utilisent des millions d'essais et atteignent des valeurs p inférieures à 10⁻¹⁵, rendant la violation astronomiquement improbable sous tout modèle local-réaliste.

Oui — les photons sont le choix le plus courant pour les tests de Bell car l'intrication de polarisation est relativement facile à créer via la conversion paramétrique spontanée descendante (SPDC) et parce que les photons voyagent à la vitesse de la lumière, rendant la faille de localité plus facile à fermer. Alice et Bob mesurent la polarisation des photons selon leurs axes choisis ; un séparateur de faisceau polarisant et deux détecteurs remplacent les aimants de Stern-Gerlach du modèle de spin. Les corrélations obéissent à la même formule CHSH avec E(a,b) = –cos(2(a – b)) en raison du facteur 2 dans la correspondance d'angle pour la polarisation.

La non-localité quantique est le nom donné aux corrélations entre particules intriquées qui violent les inégalités de Bell. Elle est distincte de la non-localité au sens d'une action à distance : aucune influence causale ne se propage entre les particules, et les corrélations n'apparaissent que dans les statistiques conjointes, pas dans une observable locale quelconque. Techniquement, la non-localité quantique est une propriété des corrélations quantiques incompatible avec tout modèle local-réaliste, mais compatible avec la causalité relativiste.

Oui — il existe de nombreuses généralisations. Les inégalités de Mermin s'appliquent à trois parties ou plus et peuvent être violées par des états GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger) par un facteur qui croît exponentiellement avec le nombre de qubits. Les inégalités de Bell à plusieurs corps sont pertinentes pour la cryptographie quantique (distribution de clé quantique indépendante des dispositifs) et l'informatique quantique, où vérifier l'intrication sans faire confiance aux dispositifs nécessite de démontrer une violation de Bell.

La borne de Tsirelson (1980) est la valeur maximale de S réalisable par tout état quantique et toute mesure quantique : |S| ≤ 2√2 ≈ 2,828. Elle se situe strictement entre la borne classique (2) et le maximum algébrique (4). Le fait que la mécanique quantique n'autorise pas |S| = 4 signifie qu'elle n'est pas « maximalement non locale » — il existe des théories hypothétiques (par exemple les « boîtes de Popescu-Rohrlich ») qui violent 2√2 tout en respectant le principe de non-signalisation, suggérant que quelque chose de plus profond que la non-signalisation contraint le monde quantique.