🏗️ Déflexion de poutre — Simulateur structurel d'Euler-Bernoulli

L'effort tranchant V à une section est la force transversale nette d'un côté de la coupe, tandis que le moment fléchissant M est le couple net. Ils sont liés par V = dM/dx : l'effort tranchant équivaut à la pente du diagramme du moment fléchissant. Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle centrale, l'effort tranchant est constant à P/2 de chaque côté et saute de façon discontinue au point de charge, tandis que le moment fléchissant culmine à PL/4 à mi-portée.

Le simulateur inclut des préréglages pour le bois (E ≈ 12 GPa, I = 3000 cm⁴, solive typique), la poutre en I en acier (E = 200 GPa, I = 8000 cm⁴, une section UB standard 254 × 146), le béton armé (E ≈ 30 GPa, I = 25000 cm⁴), et l'alliage d'aluminium (E = 70 GPa, I = 4000 cm⁴). Vous pouvez aussi saisir n'importe quelle combinaison personnalisée d'E et I pour modéliser des matériaux composites ou exotiques.

Un porte-à-faux de même portée et de même section transversale se déforme 16 fois plus qu'une poutre simplement appuyée sous la même charge centrale : δ_{porte-à-faux} = PL³/(3EI) contre PL³/(48EI). Cela s'explique par le fait qu'une seule extrémité est fixée, donc la poutre ne peut pas partager la réaction entre deux appuis. Les porte-à-faux sont utilisés là où des colonnes ne peuvent pas être placées à une extrémité, comme les balcons, les plongeoirs et les ailes d'avion.

Une charge répartie (w kN/m) représente une charge étalée uniformément le long de la poutre, comme le poids propre d'une dalle de plancher, la charge de neige sur un toit, ou la pression du vent sur un mur. Pour une poutre simplement appuyée sous charge répartie, la déflexion maximale est δ = 5wL⁴/(384EI) — se produisant à mi-portée — et le moment fléchissant maximal est M = wL²/8 à mi-portée. La dépendance à la puissance quatrième de la portée signifie que doubler la portée multiplie la déflexion par 16.

Les codes du bâtiment limitent généralement la déflexion sous charge d'exploitation à portée/360 (pour les planchers) ou portée/180 (pour les toitures), évitant la fissuration des plafonds en plâtre et l'inconfort des occupants. Les ingénieurs y parviennent en augmentant le moment d'inertie (poutres plus hautes), en utilisant des matériaux à module plus élevé, en raccourcissant la portée effective avec des colonnes intermédiaires, ou en concevant des poutres continues plutôt que simplement appuyées, ce qui réduit la déflexion d'environ 80 %.

EI est appelé la rigidité flexionnelle de la poutre. Il combine la rigidité du matériau (E) avec l'efficacité géométrique de la section transversale (I). Une poutre en I en acier avec E = 200 GPa et I = 8000 cm⁴ a EI = 1600 MN·m². Augmenter EI est le principal levier de conception pour réduire la déflexion sans changer la portée ou la charge. La rigidité EI/L³ affichée dans le panneau donne une idée intuitive de la résistance de la poutre à une charge ponctuelle centrale.

L'axe neutre est la ligne longitudinale dans la section transversale où la contrainte de flexion est nulle. Au-dessus (côté compression), le matériau se raccourcit ; en dessous (côté tension), il s'allonge. La contrainte varie linéairement : σ = My/I, où y est la distance à l'axe neutre et M le moment fléchissant local. Les fibres extrêmes portent la contrainte la plus élevée, ce qui explique pourquoi les fissures dans les poutres en béton apparaissent d'abord sur la face tendue, où le béton est le plus faible.

La théorie d'Euler-Bernoulli est très précise pour les poutres élancées dont le rapport portée/hauteur dépasse environ 10. Pour les poutres hautes (portée/hauteur < 5), la déformation par cisaillement devient significative et la théorie des poutres de Timoshenko doit être utilisée, qui ajoute un facteur de correction en cisaillement κ. Les poutres à parois minces et courbes nécessitent des corrections supplémentaires. Dans tous les cas, Euler-Bernoulli surestime la rigidité — c'est-à-dire sous-estime la déflexion — pour les éléments trapus.