Simulateur de conservation du moment cinétique utilisant une patineuse en rotation comme système modèle. La patineuse est un torse rigide plus deux masses ponctuelles représentant les bras, maintenues à un rayon réglable de l'axe de rotation. En l'absence de couple externe, le moment cinétique L = I·ω se conserve exactement, donc faire glisser le curseur d'écartement des bras change le moment d'inertie I, et la vitesse angulaire ω se met à jour en direct pour garder L constant. L'énergie cinétique de rotation augmente lorsque les bras se rapprochent, car la patineuse effectue un travail mécanique contre la force centrifuge effective — cette énergie n'est pas gratuite ici, seul le moment cinétique est conservé.
Le moment cinétique se définit comme L = Iω, le produit du moment d'inertie de l'objet I (une mesure de la façon dont sa masse est répartie par rapport à l'axe de rotation) et de sa vitesse angulaire ω. Lorsqu'aucun couple externe n'agit sur un système en rotation, L doit rester parfaitement constant — c'est l'équivalent rotationnel de la conservation de la quantité de mouvement linéaire. Dans cette simulation, le moment d'inertie de la patineuse est I(r) = Itorse + 2·mbras·r², où deux masses ponctuelles « bras » de masse mbras sont situées à un rayon r de l'axe de rotation. Ramener les bras réduit r, ce qui réduit I puisque la masse du bras se rapproche de l'axe ; comme L = Iω ne peut pas changer sans couple, ω doit augmenter pour compenser — la patineuse tourne plus vite purement comme conséquence géométrique de la redistribution de sa propre masse.
C'est exactement ce que font les vrais patineurs lorsqu'ils ramènent brusquement les bras et une jambe contre le corps pendant une rotation ; un plongeur ou un gymnaste fait de même en se repliant sur lui-même pour effectuer un salto plus vite ; c'est ainsi qu'un chat qui tombe peut se retourner sans aucun couple externe ; et à l'échelle astrophysique, c'est pourquoi le noyau effondré d'une étoile accélère brusquement sa rotation à mesure que son rayon diminue, formant finalement un pulsar en rotation rapide. Tout cela a un coût énergétique : l'énergie cinétique de rotation vaut KE = L²/(2I), donc quand I diminue, KE augmente, même si L reste inchangé. Cette énergie supplémentaire n'apparaît pas gratuitement — les muscles de la patineuse doivent effectuer un travail mécanique réel en ramenant les bras vers l'intérieur contre la force centrifuge effective ressentie dans le référentiel en rotation. L'énergie n'est pas conservée pour le mouvement de rotation propre de la patineuse ; seul le moment cinétique l'est, car la gravité et la glace ne créent aucun couple par rapport à l'axe de rotation.
Pourquoi la patineuse tourne-t-elle plus vite quand elle ramène les bras ?
Parce que le moment cinétique L = Iω se conserve tant qu'aucun couple externe n'agit sur la patineuse. Ramener les bras vers l'axe de rotation réduit le moment d'inertie I, et comme L ne peut pas changer, la vitesse angulaire ω doit augmenter proportionnellement pour garder le produit Iω constant. C'est le même effet de redistribution de masse que l'on peut ressentir sur une chaise pivotante.
Cela ne viole-t-il pas la conservation de l'énergie ?
Non. L'énergie cinétique de rotation KE = L²/(2I) augmente bel et bien quand I diminue, mais cette énergie apparaît grâce au travail mécanique réel effectué par les muscles de la patineuse, qui ramènent les bras vers l'intérieur contre la force centrifuge effective dans le référentiel en rotation. Le moment cinétique se conserve car il n'y a pas de couple externe ; l'énergie cinétique, elle, ne se conserve pas en soi, puisque les muscles de la patineuse effectuent un travail sur le système.
Qu'est-ce que le moment cinétique et pourquoi se conserve-t-il ici ?
Le moment cinétique L = Iω mesure la quantité de « mouvement » de rotation que porte un objet en rotation. Il ne change qu'en réponse à un couple externe (la deuxième loi de Newton pour la rotation). Sur la glace, la gravité agit verticalement vers le bas à travers le centre de masse de la patineuse, et la réaction normale de la glace agit verticalement vers le haut le long du même axe, donc aucune des deux ne crée de couple par rapport à l'axe de rotation vertical. Avec un couple net nul, L se conserve exactement, quelle que soit la façon dont la patineuse redistribue sa masse.
Non — la masse totale (corps plus les deux bras) reste constante tout au long du processus. Seule la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation change avec le rayon d'écartement des bras r. Le moment d'inertie dépend à la fois de la masse et de la distance de chaque parcelle de masse à l'axe (I = Σm·d²), donc rapprocher la même masse de l'axe réduit I sans retirer aucune masse.
Un plongeur ou un gymnaste se replie en boule compacte pour tourner ou effectuer un salto plus vite dans les airs, puis se déploie pour ralentir sa rotation avant l'atterrissage. Un chat qui tombe tord ses moitiés avant et arrière dans des directions opposées avec des positions de membres différentes pour se redresser sans aucun couple externe. À une échelle bien plus grande, le noyau effondré d'une étoile conserve son moment cinétique en se contractant de milliers de kilomètres à quelques kilomètres de diamètre, s'accélérant jusqu'à des centaines de tours par seconde et formant un pulsar.
Elle idéalise la patineuse comme un torse rigide à moment d'inertie fixe plus deux masses ponctuelles à rayon réglable, en ignorant la véritable répartition distribuée de la masse des bras, des jambes et du torse, tout frottement avec la glace, la résistance de l'air, ainsi que le léger couple qu'une vraie lame de patin peut créer en glissant. Elle traite aussi le changement d'écartement comme instantané, sans modéliser la force musculaire ni le temps fini réellement nécessaire pour déplacer les bras.
Le curseur d'écartement des bras définit r, le rayon en direct des masses ponctuelles des bras par rapport à l'axe de rotation (0,15 m en position totalement ramenée à 0,9 m en position totalement écartée) ; le déplacer pendant que la figure tourne change instantanément le moment d'inertie, et la vitesse angulaire réagit en direct pour garder L constant. Le curseur de vitesse de rotation initiale (ω₀) réinitialise le moment cinétique conservé L, en utilisant l'écartement actuel et la vitesse de rotation choisie. Le bouton « Réinitialiser » ramène les bras en position totalement écartée et réinitialise L à partir du curseur ω₀.
Chaque image recalcule ω(r) = L / I(r) à partir de l'écartement r en direct et du moment cinétique conservé fixe L, puis intègre l'angle de rotation en avant selon φ += ω(r)·dt, en utilisant le temps réel écoulé entre les images. Comme ω est recalculé à zéro à chaque image plutôt que mis en cache, faire glisser le curseur d'écartement pendant la rotation produit un changement instantané et continu de la vitesse de rotation, plutôt que retardé ou par paliers.
La loi de conservation elle-même — L = Iω constant en l'absence de couple externe — est exacte, et c'est précisément ce que le simulateur assure à chaque image. Les valeurs numériques concrètes (moment d'inertie du torse de 0,8 kg·m², deux bras ponctuels de 3 kg, plage d'écartement de 0,15 à 0,9 m) sont des approximations d'ordre de grandeur raisonnables pour un patineur adulte, plutôt qu'un modèle biomécaniquement exact, choisies pour que la physique démontrée corresponde à l'intuition réelle du patinage.