🏘️ Prévision du rendement locatif — Séries temporelles ARIMA en direct
Observez un véritable modèle de séries temporelles ARIMA (autorégressif intégré à moyenne mobile) prévoir en direct des tendances de rendement locatif simulées, ajusté par une estimation de paramètres de type maximum de vraisemblance — les équations de Yule-Walker pour la partie AR, les moindres carrés conditionnels de Hannan-Rissanen pour l'ajustement ARMA complet. Ajustez p, d et q et le cône de prévision se met à jour à partir d'un nouvel ajustement à chaque fois.
À propos de cette simulation
Ce simulateur génère une série synthétique mensuelle de rendement locatif avec une tendance et un bruit configurables, puis ajuste un véritable modèle ARIMA(p, d, q) entièrement dans le navigateur — sans serveur, sans coefficients précalculés. Le pipeline suit la même procédure classique utilisée dans les vrais logiciels d'économétrie : différencier la série brute d fois jusqu'à ce qu'elle paraisse stationnaire, vérifier cela par une comparaison de variance et une régression de type Dickey-Fuller augmenté, estimer la partie autorégressive avec les équations de Yule-Walker (résolues via la récursion de Levinson-Durbin), puis affiner conjointement les coefficients AR et MA avec la méthode des moindres carrés conditionnels de Hannan-Rissanen. Le modèle ajusté est utilisé pour générer de véritables prévisions à plusieurs étapes, avec des bandes de confiance dérivées d'une simulation Monte-Carlo par bootstrap des résidus plutôt que d'une largeur fixe supposée.
🔬 Ce que ça montre
Un ruban 3D retrace la série historique de rendement locatif, un second ruban montre les valeurs ajustées in-sample du modèle, et un cône translucide qui s'élargit montre la prévision multi-étapes avec son intervalle de confiance à 90 % — le rayon du cône est fixé directement par la variance de prévision bootstrappée à chaque étape de l'horizon. Un graphique 2D en dessous trace les valeurs réelles, ajustées et prévues sur un axe temporel plat pour une lecture précise.
🎮 Comment l'utiliser
Déplacez les curseurs p, d et q pour changer l'ordre du modèle — chaque changement déclenche un réajustement complet à partir de zéro sur les données actuelles. Utilisez « Rééchantillonner une nouvelle série » pour générer un nouvel historique aléatoire de rendement locatif, et ajustez les curseurs de dérive de tendance et d'échelle de bruit pour voir comment les coefficients ajustés et les bandes de confiance réagissent à des dynamiques sous-jacentes différentes. Faites glisser pour orbiter dans la vue 3D, faites défiler pour zoomer.
💡 Le saviez-vous ?
Les rendements locatifs (loyer annuel ÷ prix du bien, en pourcentage) se comportent beaucoup comme d'autres séries économiques réelles : ils suivent lentement une tendance liée aux taux d'intérêt et à l'offre/demande locale, puis oscillent autour de cette tendance. Cette combinaison — tendance plus bruit — est exactement le type de processus que le terme « I » (intégré) d'ARIMA a été conçu pour traiter, en différenciant la tendance avant de modéliser l'oscillation restante.
Questions fréquentes
Que signifie réellement ARIMA(p,d,q) ?
ARIMA signifie AutoRegressive Integrated Moving Average (modèle autorégressif intégré à moyenne mobile). Les trois ordres décrivent trois opérations distinctes enchaînées : d est le nombre de fois où la série brute est différenciée (en soustrayant chaque valeur de la suivante) pour éliminer les tendances et la rendre stationnaire ; p est le nombre de valeurs passées de la série différenciée utilisées dans une équation autorégressive (AR) ; et q est le nombre d'erreurs de prévision passées utilisées dans une équation de moyenne mobile (MA). Un modèle ARIMA(2,1,1) ajusté, par exemple, différencie la série une fois, puis modélise le résultat comme une combinaison linéaire de ses deux dernières valeurs plus son dernier terme d'erreur.
Pourquoi différencie-t-on la série avant d'ajuster les termes AR et MA ?
Les modèles AR et MA supposent que la série est stationnaire — que sa moyenne, sa variance et sa structure d'autocorrélation ne changent pas dans le temps. Une série de rendement locatif avec une dérive régulière à la hausse ou à la baisse viole cette hypothèse : sa variance ne cesse de croître et ses autocorrélations décroissent très lentement. La différenciation (yt − yt−1, répétée d fois pour des tendances plus fortes) supprime la dérive et laisse généralement une série dont les propriétés statistiques sont suffisamment stables pour que l'estimation de Yule-Walker ou des moindres carrés soit valide et pour que les prévisions résultantes aient des marges d'erreur bien comportées.
Comment les coefficients AR et MA sont-ils réellement estimés, et pourquoi ceci n'est-il pas simplement codé en dur ?
Cette simulation ajuste réellement le modèle aux données actuellement affichées à l'écran. D'abord, les autocovariances empiriques de la série différenciée sont injectées dans la récursion de Levinson-Durbin pour résoudre les équations de Yule-Walker, produisant une autorégression initiale. Cet ajustement AR long génère un résidu proxy à chaque instant. Ensuite, la méthode de Hannan-Rissanen régresse la série sur ses propres retards et sur ces retards de résidus proxy simultanément par moindres carrés ordinaires (moindres carrés conditionnels), ce qui affine conjointement les coefficients finaux φ (AR) et θ (MA). Déplacer l'un des curseurs p, d, q régénère l'ensemble de ce pipeline d'estimation à partir de la série brute — rien n'est précalculé ou simulé artificiellement.
Comment la stationnarité est-elle vérifiée, et qu'est-ce que la statistique de type ADF affichée ?
Le panneau compare la variance de la série brute à la variance après d cycles de différenciation — un ratio élevé indique que la différenciation a supprimé une dérive non stationnaire substantielle. Il exécute également une régression de type Dickey-Fuller augmenté, Δxt = c + ρ·xt−1 + Σβi·Δxt−i + εt, calculée par moindres carrés ordinaires, et rapporte la statistique t sur ρ. Une statistique t plus négative qu'environ −2,86 (la valeur critique asymptotique standard de MacKinnon à 5 % pour une spécification avec constante seule) constitue une preuve contre une racine unitaire, c'est-à-dire une preuve que la série est stationnaire et peut être modélisée en toute sécurité avec des termes AR/MA.
Comment les bandes de confiance des prévisions sont-elles générées ?
Une fois φ et θ ajustés, les résidus historiques propres au modèle sont regroupés et rééchantillonnés (un bootstrap des résidus) pour simuler plusieurs centaines de trajectoires futures alternatives de la série différenciée, chacune entraînée par un tirage aléatoire différent de chocs ayant la même variance empirique que les résidus d'ajustement réels. Chaque trajectoire simulée est ensuite réintégrée à travers les mêmes étapes de différenciation utilisées pour rendre la série stationnaire, reconstruisant une trajectoire future plausible du rendement locatif. Les 5e et 95e percentiles parmi toutes les trajectoires simulées à chaque mois de prévision forment la bande de confiance à 90 % — c'est une véritable propagation Monte-Carlo de la variance résiduelle réelle du modèle, et non une bande supposée ou de largeur fixe.
Pourquoi le cône de prévision 3D s'élargit-il davantage dans le futur ?
Parce que l'incertitude de prévision s'accumule à chaque étape supplémentaire : une prévision à un mois ne dépend que de données passées connues, mais une prévision à vingt-quatre mois dépend d'une chaîne de valeurs prévues intermédiaires incertaines s'alimentant les unes les autres. Le rayon du tube 3D à chaque point de l'horizon de prévision est fixé directement par la largeur de l'intervalle de confiance bootstrappé à ce mois, si bien que le rayon visiblement croissant du cône est une image directe et littérale de la façon dont l'erreur de prévision s'accumule sur un horizon multi-étapes.
Est-ce un substitut à une véritable bibliothèque ARIMA de production comme statsmodels ?
Non. Cette implémentation est conçue pour la transparence et l'enseignement : elle utilise Yule-Walker/Levinson-Durbin ainsi que les moindres carrés conditionnels de Hannan-Rissanen, qui sont des méthodes d'estimation réelles et classiques, mais les bibliothèques de production comme statsmodels ou la fonction arima() de R utilisent généralement une estimation par maximum de vraisemblance complète via le filtre de Kalman, qui est statistiquement plus efficace sur de petits échantillons et prend en charge les termes saisonniers. Les coefficients ici sont de véritables ajustements sur des données réelles, mais pour des prévisions financières à enjeux élevés, il faudrait une implémentation par maximum de vraisemblance et un historique réel (non simulé) beaucoup plus long.