Die Kernbindungsenergie ist die Energie, die nötig ist, um einen Atomkern vollständig in seine einzelnen Protonen und Neutronen zu zerlegen. Sie entsteht durch die starke Kernkraft und wird durch die halbempirische Bethe-Weizsäcker-Formel beschrieben, die einen Volumen-, Oberflächen-, Coulomb-, Asymmetrie- und Paarungsterm enthält. Die Bindungsenergie pro Nukleon (B/A) erreicht bei Eisen-56 (~8,79 MeV/Nukleon) ihr Maximum, weshalb Eisen den Endpunkt der stellaren Nukleosynthese darstellt.
Diese Simulation zeichnet die B/A-Kurve für alle bekannten Nuklide. Sie können einzelne Elemente auswählen, um ihre Position hervorzuheben, leichte Kerne, die bei der Fusion Energie freisetzen, mit schweren Kernen vergleichen, die bei der Spaltung Energie freisetzen, und die fünf Terme der SEMF-Formel einzeln untersuchen.
Warum gilt Eisen-56 als der stabilste Atomkern?
Eisen-56 hat mit rund 8,79 MeV die höchste Bindungsenergie pro Nukleon. Das bedeutet, dass jede Kernreaktion — ob Fusion leichterer Kerne oder Spaltung schwererer Kerne — die Eisen-56 erzeugt, Energie freisetzt. Sterne können durch die Fusion von Eisen keine Energie mehr gewinnen, weshalb sich Eisen im Sternkern ansammelt, bis es zu einer Supernova kommt.
Was ist die halbempirische Bethe-Weizsäcker-Massenformel?
Die SEMF nähert die Bindungsenergie eines Kerns mit fünf Termen an: Volumenenergie (proportional zu A), Oberflächenenergie (proportional zu A^(2/3)), Coulomb-Abstoßung zwischen Protonen (proportional zu Z²/A^(1/3)), Asymmetrieenergie, die ungleiche Protonen- und Neutronenzahlen bestraft, sowie einen Paarungsterm, der gerade Zahlen bei beiden bevorzugt. Die Koeffizienten wurden an experimentelle Kernmassen angepasst.
Wie setzt Kernfusion Energie frei?
Wenn zwei leichte Kerne fusionieren, ist der entstehende Kern pro Nukleon stärker gebunden als jeder der beiden Ausgangskerne. Die Massendifferenz — der Massendefekt — wird über Einsteins E = mc² in Energie umgewandelt. Zum Beispiel setzt die Fusion zweier Deuteriumkerne etwa 3,27 MeV Energie frei.
Schwere Kerne wie Uran-235 haben eine niedrigere B/A (~7,6 MeV/Nukleon) als Kerne mittlerer Masse. Wenn Uran in zwei Bruchstücke nahe den Massenzahlen 90 und 140 spaltet, sind die Produkte stärker gebunden, und die Massendifferenz erscheint als etwa 200 MeV kinetischer Energie und Strahlung pro Spaltungsereignis.
Das Tröpfchenmodell behandelt den Atomkern als inkompressiblen Tropfen aus Kernmaterie. Es sagt in Analogie zur Oberflächenspannung von Flüssigkeiten korrekt die Volumen- und Oberflächenenergieterme der SEMF voraus und bildet die Grundlage der Theorie der Kernspaltung, indem es die Verformung des Tropfens unter Coulomb-Abstoßung modelliert.
Mit steigender Protonenzahl Z wächst die Coulomb-Abstoßung zwischen Protonen — die wie Z² zunimmt — und überwindet zunehmend die kurzreichweitige starke Kernkraft. Oberhalb von Blei-208 (dem schwersten stabilen Kern) sind alle Nuklide radioaktiv, und die Stabilitätshalbinsel endet um Z=118 (Oganesson) mit Halbwertszeiten von Millisekunden.
Das Tal der Stabilität ist ein Bereich der Nuklidkarte (Z gegen N), in dem Nuklide am stabilsten sind. Bei leichten Elementen haben stabile Nuklide etwa gleich viele Protonen und Neutronen, während schwerere stabile Kerne mehr Neutronen als Protonen besitzen, um die Coulomb-Abstoßung zu verdünnen. Kerne außerhalb des Tals durchlaufen Beta-Zerfall, um sich ihm anzunähern.
Der Massendefekt ist die Differenz zwischen der Summe der Massen einzelner Protonen und Neutronen und der tatsächlichen Masse des zusammengesetzten Kerns. Bei Helium-4 beträgt der Massendefekt etwa 0,030 atomare Masseneinheiten, entsprechend 28,3 MeV. Diese „fehlende“ Masse wurde in die Bindungsenergie umgewandelt, die den Kern zusammenhält.
Bindungsenergien werden aus präzisen Messungen der Atommassen mittels Penning-Fallen-Massenspektrometrie oder Flugzeitverfahren bestimmt. Der Atommassenüberschuss ist in der Atomic Mass Evaluation (AME) tabelliert, deren jüngste Aktualisierung 2020 Daten zu über 2500 Nukliden enthält.
Sterne verbrennen Wasserstoff zu Helium (was ~6,7 MeV/Nukleon an Bindungsenergie gewinnt) und Helium zu Kohlenstoff und Sauerstoff in ihren Kernen. Massereiche Sterne setzen die Fusion bis zu Silizium fort, wodurch Elemente der Eisengruppe entstehen. Jede Fusionsstufe setzt pro Nukleon weniger Energie frei als die vorherige, was die Verlangsamung der Sternentwicklung bei jeder Stufe erklärt.
Diese Simulation zeigt, wie fest ein Atomkern in Abhängigkeit von seiner Massenzahl gebunden ist, unter Verwendung der halbempirischen Massenformel (des Bethe-Weizsäcker-Tröpfchenmodells). Die Bindungsenergie pro Nukleon (B/A) steigt für leichte Kerne steil an, erreicht ihren Höhepunkt bei Eisen-56 und Nickel-62 und fällt dann für schwerere Elemente langsam ab. Ziehen Sie die vier SEMF-Koeffizientenregler, um zu sehen, wie der Volumen-, Oberflächen-, Coulomb- und Asymmetrieterm die Kurve formen, und zeigen Sie auf einen beliebigen Punkt der Kurve, um Massenzahl, Protonenzahl und Bindungsenergie eines Nuklids abzulesen.
Die B/A-Kurve für den Nuklid des Stabilitätstals bei jeder Massenzahl von Wasserstoff bis über Uran hinaus, aufgebaut aus den fünf SEMF-Termen: Volumen, Oberfläche, Coulomb, Asymmetrie und Paarung. Die Kurve erreicht ihren Höhepunkt bei etwa A≈56–62 (der Eisen-/Nickel-Region); links davon liegt eine grün getönte Fusionszone, rechts eine rot getönte Spaltungszone, mit einer gestrichelten Markierung bei Eisen-56.
Ziehen Sie die Regler aV (Volumen), aS (Oberfläche), aC (Coulomb) und aA (Asymmetrie) in der oberen Leiste, um die SEMF-Koeffizienten neu einzustellen und live zu beobachten, wie sich Kurve und Spitzenwert aktualisieren. Klicken Sie auf „↺ Standard“, um die Standardwerte (15,6; 17,4; 0,71; 23,4 MeV) wiederherzustellen, und zeigen Sie mit dem Mauszeiger auf einen beliebigen Punkt der Kurve, um A, Z, N und B/A für diesen Punkt abzulesen.
Eisen-56 und Nickel-62 liegen praktisch Seite an Seite auf dem wahren Gipfel der Bindungsenergiekurve, bei etwa 8,79 MeV pro Nukleon. Sobald der Kern eines massereichen Sterns überwiegend aus Eisen und Nickel besteht, würde eine weitere Fusion Energie verbrauchen statt freisetzen — genau das löst den Kernkollaps und eine Supernova aus.
Sie wertet die halbempirische Bethe-Weizsäcker-Massenformel aus, B/A = aV − aS·A^(−1/3) − aC·Z(Z−1)·A^(−4/3) − aA·(A−2Z)²/A² ± δ/√A, für jede Massenzahl A. Die Protonenzahl Z wird aus einer Näherung des Stabilitätstals gewählt, und der Paarungsterm δ addiert oder subtrahiert Energie, je nachdem ob Z und N jeweils gerade oder ungerade sind.
Der Volumenterm wächst mit jedem hinzugefügten Nukleon, aber der negative Oberflächenterm verliert mit zunehmendem A relativ an Bedeutung, sodass die Bindung pro Nukleon für leichte Kerne ansteigt. Gleichzeitig wächst der Coulomb-Term, der die Proton-Proton-Abstoßung bestraft, schneller als A, sobald Kerne groß werden. Der Höhepunkt liegt dort, wo der Oberflächenstrafterm bereits klein geworden ist, der Coulomb-Strafterm aber noch nicht überhandgenommen hat — bei etwa A≈56–62.
aV legt den Volumenterm fest — die Anziehung, die jedes Nukleon von seinen unmittelbaren Nachbarn spürt. aS legt den Oberflächenterm fest, der Nukleonen an der Kernoberfläche mit weniger Nachbarn Bindungsenergie abzieht. aC legt den Coulomb-Term fest, die elektrostatische Abstoßung zwischen Protonen. aA legt den Asymmetrieterm fest, der Kerne mit ungleicher Protonen- und Neutronenzahl bestraft.
Jede Reaktion, die einen Kern näher an den Höhepunkt bringt, erhöht seine Bindungsenergie pro Nukleon und wandelt die Differenz über E=mc² in freigesetzte Energie um. Leichte Kerne links von Eisen-56 setzen Energie frei, wenn sie zu schwereren fusionieren; schwere Kerne rechts von Eisen-56, wie Uran-235, setzen Energie frei, wenn sie in Bruchstücke mittlerer Masse näher am Höhepunkt zerfallen.
Der Paarungsterm δ gibt gerade-gerade Kernen (gerade Anzahl sowohl an Protonen als auch an Neutronen) einen zusätzlichen Bindungsbonus, bestraft ungerade-ungerade Kerne und nimmt keine Anpassung vor, wenn A ungerade ist. Es ist eine kleine Korrektur neben dem Volumen- und Oberflächenterm, erklärt aber, warum gerade-gerade Nuklide deutlich häufiger und stabiler sind als ungerade-ungerade Nuklide ähnlicher Masse.