🏘️ Mietrenditen-Prognosetool — ARIMA-Zeitreihen live
Beobachten Sie live, wie ein echtes ARIMA- (autoregressives integriertes gleitendes Mittel) Zeitreihenmodell simulierte Mietrenditen-Trends prognostiziert — angepasst durch echte Parameterschätzung im Stil der Maximum-Likelihood-Methode: Yule-Walker-Gleichungen für den AR-Teil, die Hannan-Rissanen-Methode der bedingten kleinsten Quadrate für die vollständige ARMA-Anpassung. Passen Sie p, d und q an, und der Prognosekegel aktualisiert sich mit jeder Anpassung neu.
Über diese Simulation
Dieser Simulator erzeugt eine synthetische monatliche Mietrenditen-Reihe mit konfigurierbarem Trend und Rauschen und passt dann ein echtes ARIMA(p, d, q)-Modell vollständig im Browser an sie an — kein Server, keine vorberechneten Koeffizienten. Die Pipeline folgt demselben Lehrbuchverfahren, das echte ökonometrische Software verwendet: die Rohreihe d-mal differenzieren, bis sie stationär wirkt, dies mit einem Varianzvergleich und einer Augmented-Dickey-Fuller-ähnlichen Regression überprüfen, den autoregressiven Teil mit den Yule-Walker-Gleichungen schätzen (gelöst über die Levinson-Durbin-Rekursion) und dann die AR- und MA-Koeffizienten gemeinsam mit der Methode der Hannan-Rissanen bedingten kleinsten Quadrate verfeinern. Das angepasste Modell wird verwendet, um echte mehrstufige Prognosen zu erzeugen, wobei die Konfidenzbänder aus einer Residuen-Bootstrap-Monte-Carlo-Simulation stammen und nicht aus einer angenommenen festen Breite.
🔬 Was gezeigt wird
Ein 3D-Band zeichnet die historische Mietrenditen-Reihe nach, ein zweites Band zeigt die In-Sample-angepassten Werte des Modells, und ein sich verbreiternder durchscheinender Kegel zeigt die mehrstufige Prognose mit ihrem 90%-Konfidenzintervall — der Radius des Kegels wird direkt durch die bootstrapped Prognosevarianz bei jedem Horizontschritt festgelegt. Ein 2D-Diagramm darunter zeichnet Ist- gegen angepasste gegen Prognosewerte auf einer flachen Zeitachse zur präzisen Ablesung.
🎮 Bedienung
Ziehen Sie die p-, d- und q-Regler, um die Modellordnung zu ändern — jede Änderung löst eine vollständige Neuanpassung von Grund auf mit den aktuellen Daten aus. Nutzen Sie „Neue Reihe sampeln“, um eine frische, zufällige Mietrenditen-Historie zu erzeugen, und passen Sie die Trenddrift- und Rauschskala-Regler an, um zu sehen, wie die angepassten Koeffizienten und Konfidenzbänder auf unterschiedliche zugrunde liegende Dynamiken reagieren. Ziehen Sie zum Orbitieren der 3D-Ansicht, scrollen Sie zum Zoomen.
💡 Wussten Sie schon?
Mietrenditen (Jahresmiete ÷ Immobilienpreis, in Prozent) verhalten sich sehr ähnlich wie andere reale wirtschaftliche Reihen: Sie folgen langsam einem Trend, der von Zinssätzen und lokalem Angebot/Nachfrage abhängt, und schwanken dann um diesen Trend herum. Genau diese Kombination — Trend plus Rauschen — ist die Art von Prozess, für die der „I“-Term (integriert) von ARIMA entwickelt wurde: indem der Trend wegdifferenziert wird, bevor das übrig gebliebene Wackeln modelliert wird.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ARIMA(p,d,q) eigentlich?
ARIMA steht für AutoRegressive Integrated Moving Average (autoregressiver integrierter gleitender Durchschnitt). Die drei Ordnungen beschreiben drei aneinandergereihte Operationen: d ist die Anzahl, wie oft die Rohreihe differenziert wird (jeder Wert wird vom nächsten abgezogen), um Trends zu entfernen und sie stationär zu machen; p ist die Anzahl vergangener Werte der differenzierten Reihe, die in einer autoregressiven (AR-)Gleichung verwendet werden; und q ist die Anzahl vergangener Prognosefehler, die in einer gleitenden-Durchschnitts-(MA-)Gleichung verwendet werden. Ein angepasstes ARIMA(2,1,1) differenziert die Reihe beispielsweise einmal und modelliert das Ergebnis dann als Linearkombination seiner letzten zwei Werte plus seines letzten Fehlerterms.
Warum differenzieren wir die Reihe, bevor wir AR- und MA-Terme anpassen?
AR- und MA-Modelle setzen voraus, dass die Reihe stationär ist — dass sich ihr Mittelwert, ihre Varianz und ihre Autokorrelationsstruktur über die Zeit nicht ändern. Eine Mietrenditen-Reihe mit einer stetigen Auf- oder Abwärtsdrift verletzt diese Annahme: Ihre Varianz wächst weiter, und ihre Autokorrelationen klingen nur sehr langsam ab. Differenzierung (yt − yt−1, bei stärkeren Trends d-mal wiederholt) entfernt die Drift und hinterlässt in der Regel eine Reihe, deren statistische Eigenschaften stabil genug sind, damit Yule-Walker- oder Kleinste-Quadrate-Schätzungen gültig sind und die resultierenden Prognosen gut verhaltene Fehlerbänder haben.
Wie werden die AR- und MA-Koeffizienten tatsächlich geschätzt, und warum ist das nicht einfach hartkodiert?
Diese Simulation passt das Modell tatsächlich an die aktuell angezeigten Daten an. Zunächst werden Stichproben-Autokovarianzen der differenzierten Reihe in die Levinson-Durbin-Rekursion eingespeist, um die Yule-Walker-Gleichungen zu lösen und eine anfängliche Autoregression zu erzeugen. Diese lange AR-Anpassung erzeugt zu jedem Zeitschritt ein Proxy-Residuum. Zweitens regressiert die Hannan-Rissanen-Methode die Reihe gleichzeitig auf ihre eigenen Lags und auf diese Proxy-Residuum-Lags mittels gewöhnlicher kleinster Quadrate (bedingte kleinste Quadrate), wodurch die endgültigen φ-(AR-) und θ-(MA-)Koeffizienten gemeinsam verfeinert werden. Das Verschieben eines der p-, d-, q-Regler regeneriert diese gesamte Schätzpipeline aus der Rohreihe — nichts ist vorberechnet oder vorgetäuscht.
Wie wird Stationarität geprüft, und was ist die gezeigte ADF-ähnliche Statistik?
Das Panel vergleicht die Varianz der Rohreihe mit der Varianz nach d Runden der Differenzierung — ein großes Verhältnis zeigt an, dass die Differenzierung erhebliche nicht-stationäre Drift entfernt hat. Es führt außerdem eine Augmented-Dickey-Fuller-ähnliche Regression durch, Δxt = c + ρ·xt−1 + Σβi·Δxt−i + εt, berechnet durch gewöhnliche kleinste Quadrate, und meldet die t-Statistik für ρ. Eine t-Statistik, die negativer ist als etwa −2,86 (der übliche MacKinnon-5%-Kritikwert für eine Spezifikation nur mit Konstante), spricht gegen eine Einheitswurzel, also dafür, dass die Reihe stationär und für die Modellierung mit AR/MA-Termen geeignet ist.
Wie werden die Konfidenzbänder der Prognose erzeugt?
Sobald φ und θ angepasst sind, werden die historischen Residuen des Modells gepoolt und per Resampling (ein Residuen-Bootstrap) verwendet, um mehrere hundert alternative zukünftige Pfade der differenzierten Reihe zu simulieren, jeweils angetrieben durch eine andere Zufallsziehung von Schocks mit derselben empirischen Varianz wie die tatsächlichen Anpassungsresiduen. Jeder simulierte Pfad wird dann über dieselben Differenzierungsschritte, die die Reihe stationär gemacht haben, zurück integriert, wodurch eine plausible zukünftige Mietrenditen-Entwicklung rekonstruiert wird. Das 5. und 95. Perzentil über alle simulierten Pfade in jedem Prognosemonat bilden das 90%-Konfidenzband — es handelt sich um eine echte Monte-Carlo-Fortpflanzung der tatsächlichen Residuenvarianz des Modells, kein angenommenes oder fest breites Band.
Warum wird der 3D-Prognosekegel in die Zukunft hinein immer breiter?
Weil sich die Prognoseunsicherheit mit jedem zusätzlichen Schritt aufsummiert: Eine Ein-Monats-Prognose hängt nur von bekannten vergangenen Daten ab, aber eine Vierundzwanzig-Monats-Prognose hängt von einer Kette dazwischenliegender, unsicherer prognostizierter Werte ab, die ineinandergreifen. Der Radius der 3D-Röhre an jedem Punkt entlang des Prognosehorizonts wird direkt aus der Breite des bootstrapped Konfidenzintervalls in diesem Monat festgelegt, sodass der sichtbar wachsende Radius des Kegels ein direktes, buchstäbliches Bild davon ist, wie sich der Prognosefehler über einen mehrstufigen Horizont aufbaut.
Ist das ein Ersatz für eine echte Produktions-ARIMA-Bibliothek wie statsmodels?
Nein. Diese Implementierung ist für Transparenz und Lehre gebaut: Sie verwendet Yule-Walker/Levinson-Durbin plus die Hannan-Rissanen-Methode der bedingten kleinsten Quadrate, die echte, lehrbuchmäßige Schätzmethoden sind. Produktionsbibliotheken wie statsmodels oder Rs arima() verwenden jedoch typischerweise vollständige Maximum-Likelihood-Schätzung mittels Kalman-Filterung, die bei kleinen Stichproben statistisch effizienter ist und saisonale Terme unterstützt. Die Koeffizienten hier sind echte Anpassungen an echte Daten, aber für hochriskante Finanzprognosen bräuchte man eine Maximum-Likelihood-Implementierung und eine viel längere, reale (nicht simulierte) Historie.