Маятники: від регулярного руху до хаосу

Простий маятник. Для малих кутів рух гармонічний, а період не залежить від амплітуди та маси:

T = 2π √(L / g)    θ'' = −(g/L) sin θ

При великих кутах період зростає (рівняння нелінійне). Фазовий портрет (θ, ω) — замкнена крива; тертя перетворює її на спіраль до нуля.

Подвійний маятник — два шарніри. Енергія зберігається, але рух вже хаотичний: невеличка зміна початкових умов експоненційно зростає (показник Ляпунова).

• Ефект метелика: 12 маятників стартують з різницею кутів ~10⁻³ рад. Спочатку рухаються синхронно, потім «розбігаються» — довгострокове передбачення неможливе.
• Графік внизу показує |Δθ₂| між першим і другим маятником у логарифмічній шкалі: на початку зростання майже лінійне = експоненційний розбіг.
• При малих кутах подвійний маятник поводиться регулярно (нормальні моди) — спробуйте θ₁, θ₂ ≈ 10°.

Інтегрування — метод Рунге — Кутти 4-го порядку з малим кроком. Енергія E відлічується від точки підвісу.